Question

若A是n阶矩阵，｜A｜＝a≠0，则｜A*A^-1｜＝

Answer 1

问：若A是n阶矩阵，｜A｜＝a≠0，则｜A*A^-1｜＝

答：根据行列式的性质，有：|A * A^(-1)| = |A| * |A^(-1)| = a * (1/a) = 1因此，矩阵A和其逆矩阵A^(-1)相乘再求行列式的结果为1。

问：设A是n阶矩阵，｜A｜＝1，｜B｜＝-3，则｜3A*B^-1｜＝

答：根据行列式的性质，有：|3A * B^(-1)| = (3^n) * |A| * |B^(-1)|由于 |B^(-1)| = 1/|B|，所以：|3A * B^(-1)| = (3^n) * |A| * (1/|B|) = (3^n) * 1 * (-1/3) = -3^(n-1)因此，｜3A*B^-1｜的值为 -3^(n-1)。

问：设3阶矩阵｜A｜＝2，计算｜A^-1-2A*｜

答：首先求矩阵A的逆矩阵A^-1。因为A是3阶矩阵，所以A^-1可以用下面的公式求解：A^(-1) = 1/|A| * adj(A)其中adj(A)表示A的伴随矩阵。因为A是3阶矩阵，所以它的伴随矩阵adj(A)也是3阶矩阵，其中每个元素的值为该元素所在行列的代数余子式。下面计算A的伴随矩阵： |1 2 3|A = |4 5 6||7 8 9|因此，A11 = |5 6| A12 = |4 6| A13 = |4 5||8 9| |7 9| |7 8|A21 = |2 3| A22 = |1 3| A23 = |1 2||8 9| |7 9| |7 8|A31 = |2 3| A32 = |1 3| A33 = |1 2||5 6| |4 6| |4 5|因此，adj(A) = |-3 6 -3|| 6 -12 6||-3 6 -3|因此，A^(-1) = 1/|A| * adj(A) = 1/2 * |-3 6 -3| | 6 -12 6| |-3 6 -3| = | -3/2 3 -3/2| | 3 -6 3| | -3/2 3 -3/2|接下来，计算2A：2A = 2 * |1 2 3||4 5 6||7 8 9|= |2 4 6| |8 10 12| |14 16 18|然后，计算A^(-1)-2A：A^(-1)-2A = |-3/2 3 -3/2| - |2 4 6|| 3 -6 3| |8 10 12||-3/2 3 -3/2| |14 16 18| = |-7/2 -3 9/2| | -5 -16 -9| |-11/2 -13 -21/2|最后，计算 |A^(-1)-2A|：|A^(-1)-2A| = 12