已知在△ABC中,A + B = 3C,2 sin ( A-C ) = sin B . ( 1 )求sin A:( 2 )设AB
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(1) 根据正弦定理和题目中的条件可得：
$\dfrac{\sin A}{\sin C} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\sin (180° - A - B)}{\sin B} = \dfrac{\sin (2C - A)}{\sin B}$
再带入条件2 sin ( A - C ) = sin B 得：
$\dfrac{\sin A}{\sin C} = \dfrac{\sin (2C - A)}{2\sin (A - C)}$
化简得：
$\sin^2 A = 2\sin C\sin (A - C)\sin (2C - A)$
带入 A + B = 3C，化简得：
$\sin^2 A = 2\sin (A - C)\sin (3A - 3C)$
再利用和角公式和差角公式：
$\begin{aligned}
\sin^2 A &= 2\sin A\cos C\sin (3A - 3C) \\
&= 2\sin A\cos C(3\sin A - 4\sin^3 A - 3\sin C + 4\sin^2 A\sin C)
\end{aligned}$
带入 A + B = 3C 和 $\sin A/\sin C = \sin (2C - A)/\sin B$。
咨询记录 · 回答于2024-01-10
已知在△ABC中,A + B = 3C,2 sin ( A-C ) = sin B . ( 1 )求sin A:( 2 )设AB
17 . (10分)已知在△ABC中，A + B = 3C，2 sin ( A-C ) = sin B . ( 1 )求sin A：( 2 )设AB = 5，求AB边上的高.
是这个
(1) 根据正弦定理和题目中的条件可得：
$\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sin (180°-A-B)}{\sin B}=\dfrac{\sin (2C-A)}{\sin B}$
再带入条件2 sin ( A-C ) = sin B 得：
$\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{\sin (2C-A)}{2\sin (A-C)}$
化简得：
$\sin^2 A=2\sin C\sin (A-C)\sin (2C-A)$
带入 A + B = 3C，化简得：
$\sin^2 A=2\sin (A-C)\sin (3A-3C)$
再利用和角公式和差角公式：
$\begin{aligned}
\sin^2 A&=2\sin A\cos C\sin (3A-3C)\\
&=2\sin A\cos C(3\sin A-4\sin^3 A-3\sin C+4\sin^2 A\sin C)
\end{aligned}$
带入 A + B = 3C 和 $\sin A/\sin C=\sin (2C-A)/\sin B$：
(1) 由A + B = 3C，可得 C = (A+B)/3，
代入2sin(A-C) = sinB中，得：2sin(A-(A+B)/3) = sinB
化简得：sin(2A+2B/3) = sinB
根据正弦函数的性质，若sinx = siny，则x = nπ + (-1)^n y，其中n为整数。
因此，有2A+2B/3 = nπ + (-1)^n B，即2A = (n-2)(π/3) + (-2/3)B。
又因为A+B = 3C = A+B+C，得A = π-C，
代入可得2(π-C) = (n-2)(π/3) + (-2/3)B。
化简得4C = nπ + B，即B = 4C-nπ。
代入2sin(A-(A+B)/3) = sinB中，得：2sin(A-(A+4C/3-nπ/3)/3) = sin(4C-nπ)
化简得：2sin(A-π/3+nπ/9) = sin(4C-nπ)
由此可得：sinA = sin(π/3-nπ/9+1/2sin(4C-nπ))
将A+C = B+2C代入，得sinA = sin(π/3-nπ/9+1/2sin(3C))
又由A+B+C = π，得C
2) 设AB边上的高为h，则h = 5sinC = 5sin(π/3) = 5√3/2 = 5√3/2。因此，AB边上的高为5√3/2。
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