Question

6.利用格林公式计算曲线积分_c(x^2-y)dx+(x+zx^2y)dy,其中c为上半圆周 y=(2x-

Answer 1

问：6.利用格林公式计算曲线积分_c(x^2-y)dx+(x+zx^2y)dy,其中c为上半圆周 y=(2x-

问：6.利用格林公式计算曲线积分∫c(x²2-y)dx+(x+zx²2y)dy,其中c为上半圆周 y=(2x-x²）

问：由（0.0）到（2.0）

答：首先，我们需要将曲线参数化。对于上半圆周y=(2x-x²)，一种常见的参数化方式是令x=t，y=2t-t²，其中t的取值范围是[0,2]。然后，我们对曲线积分进行计算。根据格林公式，设P(x,y)=x²/2-y，Q(x,y)=x+zx²/2y，则有∫c(Pdx+Qdy) = ∫(Qx(Py/dx)-Px(Qy/dx))dx在这里，我们的dx和dy分别对应着x的导数1和t的导数dt，因此有dx = 1dt，dy = (4-2t)dt。将积分限转化为t的取值范围，则可得∫c(Pdx+Qdy) = ∫t=0到2 [(x²/2-y)(1)+(x+zx²/2y)(4-2t)] dt对积分式子进行化简，即可得∫c(x²/2-y)dx+(x+z·x²/2y)dy = ∫t=0到2 [(2t-t²)²/2-(2t-t²)]dt + ∫t=0到2 [(t+z·t²)/(2(2t-t²))]dt最终的结果是这两个积分的和。对于第一个积分，可以通过展开式子并套用一些基本积分公式来求解；对于第二个积分，可以通过换元法来化简。具体实现过程略。

答：按照上面的方法对曲线进行参数化，我们令x=t，y=2t-t²，其中t的取值范围是[0,2]。然后，我们需要计算出P(x,y)=x²/2-y和Q(x,y)=x+z·x²/2y的偏导数。有∂P/∂x = x, ∂P/∂y = -1, ∂Q/∂x = 1+z·x/y, ∂Q/∂y = -z·x²/y²。根据格林公式，曲线积分可以转化为面积积分，即∫c(Pdx+Qdy) = ∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dA，其中D为曲线围成的区域，由半圆弧和x轴构成。利用上面计算出的偏导数，我们可以得到∂Q/∂x-∂P/∂y = z·x/y²+1，因此∫c(x²/2-y)dx+(x+z·x²/2y)dy = ∬D(z·x/y²+1)dA，其中D为半圆弧与x轴围成的区域，可以通过极坐标变换来化简。我们令x = r cosθ, y = r sinθ，则有∬D(z·x/y²+1)dA = ∫θ=0到π [(z·r cosθ)/(r²sin²θ)+1]·r dr dθ对r的积分范围是[0,2sinθ]，对θ的积分范围是[0,π]。将式子进行化简，得到∫c(x²/2-y)dx+(x+z·x²/2y)dy = ∫θ=0到π [2z(cosθ)/(1-sin²θ)+2sinθ]dθ再次进行化简，得到∫c(x²/2-y)dx+(x+z·x²/2y)dy = 2π(z+3)/2因此，曲线积分的结果为π(z+3)。

问：还有这题

答：您不要用图片，还吗？尽量手动输入