Question

有线维向量空间建立基的目的是

Answer 1

问：有线维向量空间建立基的目的是

答：向量空间的抽象化定义就是为了能够更广泛地描述“长得像欧氏空间”的数学对象，以便于更广泛的应用 线性代数的工具。如果没有向量空间这个抽象的观念，你可能很难理解“齐次线性常微分方程的解空间”、“连续函数空间”、“平方可积函数空间”这种东西跟\mathbb{R}^n有什么共同点。在有了向量空间这个观念一样，你就知道他们可以放在一个框架里面去统一地处理，而不需要把他们区分开来分别对待（我不是说这几个空间是一回事，有限维线性空间和无限维线性空间当然差别很大，但是有些处理方法还是共通的）。说白了向量空间相关的抽象概念，就是在“取不出基”或者“不能一眼看出基长什么样”、“没有显然的坐标”、矩阵方法不太好用的时候，才真正有用。当你写下一个线性变换的时候，不再把这个变换看成一个矩阵，而是真的把它看成一个“线性的映射”，并且知道在不使用矩阵语言的情况下照样能做一些事情的时候，你就能理解线性空间、线性变换等等这一整套（相比矩阵而言略为抽象的）概念的逻辑和用处在哪里了。