Question

11+求幂级数_(n=1)^((-1)^(n-1))/(4^(2n-1))x^(2n)的和函数

Answer 1

问：11+求幂级数_(n=1)^((-1)^(n-1))/(4^(2n-1))x^(2n)的和函数

答：您好，根据幂级数的定义，可以得到：scssCopy code求和函数 f(x) = Σ ((-1)^(n-1)/(4^(2n-1)) * x^(2n)), n=1 to ∞首先，观察级数的通项公式，可以看到其具有交替正负性，并且随着 n 的增大，每一项的绝对值都在缩小。因此，可以使用莱布尼茨交替级数的收敛性定理，得知该级数是收敛的。接下来，我们尝试求出该级数的和函数。根据幂级数的求和公式，可以得到：scssCopy codef(x) = Σ ((-1)^(n-1)/(4^(2n-1)) * x^(2n)) = Σ ((-1)^n-1 * x^(2n)) / (2^(2n-1))令 u = x^2/4，则有：f(x) = Σ ((-1)^n-1 * u^n) / (2^n-1) = u - u^2 + u^3 - u^4 + u^5 - u^6 + ...通过对该级数进行简单的分析，我们可以发现它是一个等比数列求和的形式，因此可以得到：scssCopy codef(x) = u / (1 + u) = x^2 / (4 + x^2)因此，原级数的和函数为 f(x) = x^2 / (4 + x^2)。