Question

在三角形ABC中，AB>2AC，求证角C>2角B

Answer 1

问：在三角形ABC中，AB>2AC，求证角C>2角B

答：亲亲，非常荣幸为您解答，求证角C>2角B过程：假设$\angleB=\theta$，则$\angleC>2\theta$等价于$\sinC>\sin2\theta$。因为$AB>2AC$，根据三角形的外角定理，$\angleA>\angleB+\angleC$。又因为三角形的内角和为$180^\circ$，所以$\angleA=\pi-\angleB-\angleC$。将它代入外角公式中，得到：$$\angleB+\angleC<\pi-\angleB-\angleC$$化简得到$\angleB+\angleC2AC$，所以$\frac{AB}{AC}>2$，即$\frac{AB}{2AC}>1$。根据正弦定理，$\sinB=\frac{AC}{AB}\sinC<\frac{1}{2}\sinC$。而$\angleB+\angleC<\frac{\pi}{2}$，因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$

答：因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$，即$\sinB\cosC+\cosB\sinC<1$。又因为$\sinB<\frac{1}{2}\sinC$，所以$\cosC+\cosB\sinC\frac{1}{2}$。代入上式中，得到$\sinC<2-\frac{1}{\cosB}<2$。结合$\sinB\sin2\theta$$因此，原命题得证。数学证明题做题技巧：解决证明题时，选择向量或者辅助线的方式是一个不错的选择，防止使用普通解题方法导致解题过程繁杂，进而出现错误。~

答：~~数学学习技巧：课前预习。对于数学这门学科，在课前预习是非常有必要的，不然上课老师传授给你的知识你就没有办法在规定的时间内学好、学透。日积月累，你的数学基础就会变得不扎实，那在今后的拔高训练中，你无疑是两眼一黑。课时注意力高度集中。数学这么科目是非常讲究经验的，一般既快、准确率又高的方法都是前人终结出来的。而老师无非就是掌握了许多这样方法的人，将在上课时传授给我们。如若上课注意力不够集中，那么我们就会漏掉这些方法，导致自己会走许多弯路。得不偿失！必要的课后练习。数学就像一个工具，如果没有平时的练习，那么你就会有不能得心应手的感觉。可能就会照成自信心的遗失，影响但今后的学习中。所以我们应该在课后做些习题，来验证老师在课堂上传授给我们的知识点。~

问：没看懂

答：我们可以使用三角形的正弦定理来证明这个结论。假设$\angleB=\theta$，则$\angleC>2\theta$等价于$\sinC>\sin2\theta$。因为$AB>2AC$，根据三角形的外角定理，$\angleA>\angleB+\angleC$。又因为三角形的内角和为$180^\circ$，所以$\angleA=\pi-\angleB-\angleC$。将它代入外角公式中，得到：$$\angleB+\angleC<\pi-\angleB-\angleC$$化简得到$\angleB+\angleC2AC$，所以$\frac{AB}{AC}>2$，即$\frac{AB}{2AC}>1$。根据正弦定理，$\sinB=\frac{AC}{AB}\sinC<\frac{1}{2}\sinC$。而$\angleB+\angleC<\frac{\pi}{2}$，因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$，即$\sinB

答：即$\sinB\cosC+\cosB\sinC<1$。又因为$\sinB<\frac{1}{2}\sinC$，所以$\cosC+\cosB\sinC\frac{1}{2}$。代入上式中，得到$\sinC<2-\frac{1}{\cosB}<2$。结合$\sinB\sin2\theta$$因此，原命题得证。