Question

在三角形ABC中，AB>2AC，求证角C>2角B

Answer 1

问：在三角形ABC中，AB>2AC，求证角C>2角B

答：亲亲，非常荣幸为您解答，求证角C>2角B过程：假设$\angleB=\theta$，则$\angleC>2\theta$等价于$\sinC>\sin2\theta$。因为$AB>2AC$，根首铅蠢据三角形的外角定理，$\angleA>\angleB+\angleC$。又因为三角形的内角和为$180^\circ$，激拿所以$\angleA=\pi-\angleB-\angleC$。将它代入外角公式中者陪，得到：$$\angleB+\angleC<\pi-\angleB-\angleC$$化简得到$\angleB+\angleC2AC$，所以$\frac{AB}{AC}>2$，即$\frac{AB}{2AC}>1$。根据正弦定理，$\sinB=\frac{AC}{AB}\sinC<\frac{1}{2}\sinC$。而$\angleB+\angleC<\frac{\pi}{2}$，因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$

答：因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$，即$\sinB\cosC+\cosB\sinC<1$。又因为$\sinB<\frac{1}{2}\sinC$，所以$\cosC+\cosB\sinC\frac{1}{2}$。代入上式中，得到$\sinC<2-\frac{1}{\cosB}<2$。结合亩销$\sinB\sin2\theta$$因此，原命题得证。数学证明题做题技指悉巧：解决证明题时，选择向量或者辅迅逗游助线的方式是一个不错的选择，防止使用普通解题方法导致解题过程繁杂，进而出现错误。~

答：~~数学学习技巧：课前预习。对于数学这门学科，在课前预习是非常有必要的，不然上课老师传授给你的知识你就没有源禅薯办法在规定的时间内学好、学透。日积月累，你的数学基础就会变得不扎实，那在今后的拔高训练中，你无疑是两眼一黑。课时注意力高度集雹者中。数学这么科目是非常讲究经验的，一般既快、准确率又高的方法都是前人终结出来的。而老师无非就是掌握了许多这样方法的人，将在上课时传授给我们袭竖。如若上课注意力不够集中，那么我们就会漏掉这些方法，导致自己会走许多弯路。得不偿失！必要的课后练习。数学就像一个工具，如果没有平时的练习，那么你就会有不能得心应手的感觉。可能就会照成自信心的遗失，影响但今后的学习中。所以我们应该在课后做些习题，来验证老师在课堂上传授给我们的知识点。~

问：没看懂

答：我们可以使用三角形的尺顷弯正弦定理来证明这个结论。假设陵闷$\angleB=\theta$，则$\angleC>2\theta$等价于$\sinC>\sin2\theta$。因为$AB>2AC$，根据三角形的外角定理，$\angleA>\angleB+\angleC$。又因为三角形的内角和为$180^\circ$，所以$\angleA=\pi-\angleB-\angleC$。将它代乎如入外角公式中，得到：$$\angleB+\angleC<\pi-\angleB-\angleC$$化简得到$\angleB+\angleC2AC$，所以$\frac{AB}{AC}>2$，即$\frac{AB}{2AC}>1$。根据正弦定理，$\sinB=\frac{AC}{AB}\sinC<\frac{1}{2}\sinC$。而$\angleB+\angleC<\frac{\pi}{2}$，因此$\sin(\angleB+\angleC)<1$，即$\sinB

答：即$\sinB\cosC+\cosB\sinC<1$。又因为$\sinB<\frac{1}{2}\sinC$，所以$\cosC+\cosB\sinC\frac{1}{2}$。代入上昌信式消逗中，得到$\sinC<2-\frac{1}{\cosB}<2$。结合拿迅卖$\sinB\sin2\theta$$因此，原命题得证。