Question

由抛物线y²=x与直线y=x,x=2以及x轴围成的平面图形面积

Answer 1

问：由抛物线y²=x与直线y=x,x=2以及x轴围成的平面图形面积

答：首先，我们需要将抛物线$y^{2}=x$与直线$y=x$和$x=2$画出来。通过观察这个图形，我们可以发现其边界是由抛物线、直线$y=x$和$x=2$构成的。因此，我们可以将整个图形分成两部分来计算面积。 第一部分是由抛物线、直线$y=x$和$x$轴围成的三角形区域。我们可以使用三角形面积的公式$\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$来计算其面积。在这个情况下，底为1，高也为1，所以面积为$\frac{1}{2} \times (2-1)^2 = \frac{1}{2}$。 第二部分是由抛物线、直线$x=2$和$x$轴围成的梯形区域。我们可以使用梯形面积的公式$\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}$来计算其面积。在这个情况下，上底为1，下底为4，高为2，所以面积为$\frac{1}{2} \times (2^2 - 1^2) = \frac{3}{2}$。 最后，整个图形的面积是两部分面积的和，即$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$。 所以，答案是2。

答： **相关拓展：** 首先，抛物线 $y^2 = x$ 与直线 $y = x$ 相交于点 $(1,1)$ 和 $(0,0)$，直线 $y = x$ 与 $x = 2$ 相交于点 $(2,2)$。 因此，我们可以将这个平面图形分成两部分： 一部分是抛物线 $y^2 = x$ 与直线 $y = x$ 以及 $x$ 轴围成的三角形，另一部分是直线 $y = x$ 与 $x = 2$ 以及 $x$ 轴围成的梯形。 第一部分的面积可以用三角形面积公式计算： $S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ 第二部分的面积可以用梯形面积公式计算： $S_2 = \frac{1}{2} \times (2 + 2) \times 2 = 4$ 因此，整个平面图形的面积为 $S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$。

问：用定积分方法呢

答：该图形可以表示为三个部分的面积之和： 1. 一个以 x 轴为底，y 轴为左界，y=x 为右界的三角形； 2. 一个以 x=2 为右界，y=x 为底，y²=x 为左界的梯形； 3. 以及一个以 y=x 为左右界、y²=x 为上界的平行四边形。 以 y=x 为底时，上下界分别为 y=x 和 y²=x，所以该部分的面积为： $$\int_0^1 x^2 - x^4 dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2}{15}$$ 以 x=2 为右界时，上下界分别为 y=x 和 y²=x，所以该部分的面积为： $$\int_1^2 2 \sqrt{x} - x dx = \left[\frac{4}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{2}{3}$$ 以 y=x 为左右界，y²=x 为上界时，积分限为 x∈[0,1]，y∈[0,1]，所以该部分的面积为： $$\int_0^1\int_{\sqrt{y}}^y dxdy = \int_0^1 (y - \sqrt{y})"

问：答案是多少？

答：三分之2根②