微分方程dy/dx＝y/2x＋1/2y tan y²/x的通解
1个回答
关注
![]()
展开全部
亲，你好，
这个微分方程的通解可以通过分离变量和变量代换的方法求解。
首先，我们将方程重写为：2x dy = (y + y tan(y^2/x)) dx
然后，对方程两边进行分离变量，得到：
(2y - y tan(y^2/x)) dy = 2x dx
接下来，我们引入一个变量代换 u = y^2/x，这样我们就可以将方程转化为关于 u 的微分方程。对 u 进行求导，得到：
du/dx = (2xy' - y^2)/x^2
将这个结果代入原方程中，得到：
(2u - u tan(u)) du = 2dx
现在，对方程两边同时积分，得到：
∫(2u - u tan(u)) du = ∫2dx
对右边进行积分，得到 2x + C1（C1 为常数）。
对左边的积分需要进行一些技巧性的处理。我们可以使用分部积分法，将方程拆分成两项：
∫(2u - u tan(u)) du = ∫2u du - ∫u tan(u) du
第一项的积分很简单，直接得到 u^2 + C2（C2 为常数）。
对于第二项的积分∫u tan(u) du，我们可以利用部分积分法或换元法进行计算。具体的计算过程略复杂，这里我就不展开了。
综上所述，该微分方程的通解为 y^2/x + ∫u tan(u) du = 2x + C（C 为常数）。
咨询记录 · 回答于2024-01-10
微分方程dy/dx＝y/2x＋1/2y tan y²/x的通解
以图片的问题为准哦
亲，你好，这个微分方程的通解可以通过分离变量和变量代换的方法求解。
首先，我们将方程重写为：2x dy = (y + y tan(y^2/x)) dx
然后，对方程两边进行分离变量，得到：(2y - y tan(y^2/x)) dy = 2x dx
接下来，我们引入一个变量代换 u = y^2/x，这样我们就可以将方程转化为关于 u 的微分方程。对 u 进行求导，得到：du/dx = (2xy' - y^2)/x^2
将这个结果代入原方程中，得到：(2u - u tan(u)) du = 2dx
现在，对方程两边同一时候积分，得到：∫(2u - u tan(u)) du = ∫2dx
对右边进行积分，得到 2x + C1（C1 为常数）。对左边的积分需要进行一些技巧性的处理。我们可以使用分部积分法，将方程拆分成两项：∫(2u - u tan(u)) du = ∫2u du - ∫u tan(u) du
第一项的积分很简单，直接得到 u^2 + C2（C2 为常数）。对于第二项的积分∫u tan(u) du，我们可以利用部分积分法或换元法进行计算。具体的计算过程略复杂，这里我就不展开了。
综上所述，该微分方程的通解为 y^2/x + ∫u tan(u) du = 2x + C（C 为常数）。
# 如何计算 ∫u tan(u) du？
这个积分是比较复杂的，没有简单的表达式。一种常用的方法是利用级数展开来近似计算。
# 是否可以通过其他方法求解这个微分方程？
是的，除了分离变量和变量代换的方法，还可以尝试使用其他的技巧，如恰当形式、线性微分方程等方法进行求解。
# 该微分方程是否有特解？
特解需要根据ju体的初始条件来确定，只有给定初始条件后才能得到唯一的特解。希望以上回答对你有帮助！要是还有其他问题，请随时提出哦。
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
