Question

已知可微函数 f (u,v）满足∂f（u,v）/∂u+∂f（u,v）/∂v=(u+v)e^v,且f(0，v)=（v-2）e^v,求f(x，x+y)

Answer 1

问：已知可微函数 f (u,v）满足∂f（u,v）/∂u+∂f（u,v）/∂v=(u+v)e^v,且f(0，v)=（v-2）e^v,求f(x，x+y)

答：亲亲，您好，下边是答答想出来的答案，请您查看：根据题意，有:∂f（u,v）/∂u+∂f（u,v）/∂v=(u+v)e^v对该式关于 u 积分，可得：f(u, v) + ∂f(u, v)/∂u = (1/2)u^2e^v + uv e^v + C(v)其中 C(v) 是只与 v 有关的常数函数。对上式关于 v 求偏导数，可得：∂f(u, v)/∂v + ∂^2f(u, v)/∂u∂v = ue^v + e^v + C'(v)将第一个方程中的 ∂f(u, v)/∂u 带入上式，化简后可得：∂^2f(u, v)/∂u∂v = e^v此时可以对该式从 (0, 0) 到 (x, y+x) 进行积分：f(x, y+x) - f(0, y) - f(x, 0) + f(0, 0) = ∫(0,x)∫(y, y+x) e^v dudv代入初始条件 f(0, v) = (v-2)e^v ，得：f(x, y+x) = ∫(0,x)∫(y, y+x) e^v dudv + (y+x-2)e^(y+x) - 2e^y化简可得：f(x, y+x) = (x+y-1)e^(x+y) - xye^y因此，函数 f(x, x+y) 的表达式为：f(x, x+y) = (2x+y-1)e^(2x+y) - xe^x

答：亲亲，您好，因为那个符号打不出来，所以就用h代替了，答答想出来的答案在下边，请您查看：根据已知条件，有 f'x(1,2) = 2 和 f'(1,2) = 3，因此：df = f'x(1,2) dx + f'y(1,2) dy = 2dx + 3dy将 y = 2f(x, 2x) 带入全微分公式得：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = (∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(x, 2x)) dx因此，对于函数 h(x) = f(x, 2 f(x, 2x))，可得：h'(x) = (∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(x, 2x)) + 4∂f/∂y f'(x, 2x) ∂(x)/∂x将 x = 1 和 y = 2f(1, 2) 代入上式，则有：h'(1) = (∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(1, 4)) + 8∂f/∂y f'(1, 4) ∂(1)/∂x注意到 ∂(1)/∂x = f(1, 2f(1, 4)) 的导数。由已知条件 f(1, 2) = 1 可求出 f(1, 4) = 2，从而可以计算出 f(1, 2f(1, 4)) = f(1, 4) = 2，再利用全微分公式计算其导数。因此，可以利用链式法则计算出 h'(1) 的值：∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(1, 4) = ∂f/∂x + 8∂f/∂y = df/dx = 2∂(1)/∂x = d/dx f(1, 2f(1, 4)) = ∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(1, 4) = 2因此：h'(1) = (∂f/∂x + 4∂f/∂y f'(1, 4)) + 8∂f/∂y f'(1, 4) ∂(1)/∂x= (2 + 403) + 802= 2因此，h'(1) = 2。