Question

2.求列表求解曲线 y=x^4/12-x^3/6+2x+1 的凹凸区间与拐点

Answer 1

问：2.求列表求解曲线 y=x^4/12-x^3/6+2x+1 的凹凸区间与拐点

答：首先，计算函数 y=x^4/12-x^3/6+2x+1 的前两阶导数分别为：y'=x^3/3-x^2+2y ′ =x 3 /3−x 2 +2y''=x^2-2xy ′′ =x 2 −2x其解析式的求导过程不再赘述。接下来，我们需要找到函数的拐点和凹凸区间。具体步骤如下：（1）令y''=0y ′′ =0得 x^2-2x=0x 2 −2x=0，解得x=0x=0和x=2x=2;（2）通过二阶导数的符号判定可知，当 x<0x<0 或 02 时，y''>0y ′′ >0，即函数为上凸函数;（3）因此，函数的凹凸区间为x\in(-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)x∈(−∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)，拐点的坐标为 (0,1)(0,1) 和 (2,16/3)(2,16/3)。综上所述，该函数的凹凸区间为 (-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)(−∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)，拐点为 (0, 1)(0,1) 和 (2, \frac{16}{3})(2, 316​ )。

答：利用代数运算和极限的性质可以得到：lim[2x^2 + 3x - 1] = lim[2x^2 - 2 + 3x + 1]= lim[2(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 1]，将极限点移动到0处令t = x - 1，则当 x\to 1x→1 时，t\to 0t→0因此，原式可化为：lim[2(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 1] = lim[2t^2 + 3t + 1]= 2lim[t^2] + 3lim[t] + lim[1]，根据极限的性质分别计算每一部分的极限值= 2(0^2) + 3(0) + 1= 1因此，原式的极限值为1。

答：在求解该极限前，我们需要注意到极限函数在 x=2x=2 处是没有定义的。因此，我们在计算之前需要先将其进行化简，即：lim[(1/x^2) - 1]，当 x\to 2x→2 时接下来，可以根据极限的性质和代数运算的规律求解，具体步骤如下：lim[(1/x^2) - 1] = lim[1/(x^2) - x^2/(x^2)]= lim[(1 - x^4)/(x^2 * (1 + x^2))]= lim[(1 - x^4)/(x^2 * (1 + x^2))] * [(1/x^2)/(1/x^2)]= lim[(1/x^2 - x^4/x^6)] / lim[1 + x^2]= [lim(1/x^2) - lim(x^4/x^6)] / lim(1 + x^2)，利用除法法则可以得到= [(0 - 2^4/2^6)] / (1 + 2^2)= (-15/16) / 5= -3/16因此，原式的极限为 -3/16。

答：这里的函数 y = \sin(3x_1)y=sin(3x 1​ ) 是一个以变量 x_1x 1​ 为自变量的正弦函数，其中系数 33 决定了其周期。当 x_1x 1​ 变化一个周期时，\sin(3x_1)sin(3x 1​ ) 的取值经历一次完整的正弦波形周期，即从 -1−1 到 11 再到 -1−1。黑线表示 \sin(x)sin(x)，红线表示 \sin(2x)sin(2x)，蓝线表示 \sin(3x)sin(3x)。可以看出，当 xx 增加到 2\pi/32π/3 （即一个完整周期的三分之一）时，\sin(3x)sin(3x) 取得最大值 11；当 xx 增加到 4\pi/34π/3 （即一个完整周期的三分之二）时，\sin(3x)sin(3x) 取得最小值 -1−1。同时，当其他常量不变时，增大 33 也会缩短周期，使波形变得更加密集。