求极限lim(x,y)→(0,0)xycosy/(3x^2+y^2)
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不存在。
令
y=k·x，则极限x,y趋向0
lim
x
y/(x^2+y^2)
=x趋向0
lim
kx²/[(1+k²)·x²]
=
k/(1+k²)
它的值随k值变化而变，因此不是一个确定的值，不符合极限在在的条件。
函数极限可以分成
，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以
的极限为例，f(x)
在点
以A为极限的定义是：
对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
，那么常数A就叫做函数f(x)当
x→x。时的极限。
从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式
成立”意味着：所有下标大于N的
都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn}
中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某
，使数列{xn}
中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0)
之外，则{xn}
一定不以a为极限。
咨询记录 · 回答于2021-11-02
求极限lim(x,y)→(0,0)xycosy/(3x^2+y^2)
你好 很高兴可以为您提供解答不存在。令y=k·x，则极限x,y趋向0limxy/(x^2+y^2)=x趋向0limkx²/[(1+k²)·x²]=k/(1+k²)它的值随k值变化而变，因此不是一个确定的值，不符合极限在在的条件。函数极限可以分成，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x)在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn}中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某，使数列{xn}中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0)之外，则{xn}一定不以a为极限。
令y=kx后，原式为kcoskx/(3+k^2)
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