Question

已经知道数列的极限值存在且不为0,求证该数倒数的极限值为原数列极限的倒数

Answer 1

问：已经知道数列的极限值存在且不为0,求证该数倒数的极限值为原数列极限的倒数

答：设 $f(x)$ 在 $x \to x_0$ 时，有极限 $a \neq 0$。 从极限的定义出发，我们知道在 $x_0$ 的邻域内，任取一个任意小的数 $\zeta$，都可以找到正数 $\delta$ 使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - a| < \varepsilon$。 考虑函数 $g(x) = \frac{1}{f(x)}$，则有 $|g(x) - \frac{1}{a}| = |\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{a}| = \frac{|a - f(x)|}{|af(x)|} = \frac{|f(x) - a|}{|af(x)|}$由前面的结论，我们知道任取一个任意小的数 $\zeta$，都可以找到正数 $\delta$ 使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - a| < \varepsilon$。 进一步推导可得： $a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon$那么 $|f(x)| < |a - \varepsilon|$ 或 $|f(x)| < |a + \varepsilon|$。 综合以上结论，我们得到 $|f(x)|$ 必定小于 $|a - \varepsilon|$ 和 $|a + \varepsilon|$ 这两个数中绝对值大的那个数的绝对值。

答：假设 $m$ 为某个常数。那么，我们可以得到以下不等式： $\frac{|f(x) - a|}{|af(x)|} < \frac{\zeta}{am}$ 由于 $\zeta$ 是任意小的数，因此 $\lambda = \frac{\zeta}{am}$ 也是任意小的数。 这意味着，对于任意小的数 $\lambda$，我们都可以找到一个正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，对应的函数值 $g(x)$ 满足不等式 $|g(x) - \frac{1}{a}| < \lambda$。 因此，当 $a \neq 0$ 时，函数 $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ 的极限是 $\frac{1}{a}$。

答：证明limf(x)=A>0,lim(1/f(x))=lim1/limf(x)=1/A>0

答：希望能帮助到你！