计算二重积分I=∫∫xy^2dσ,其中D由抛物线y^2=4x和直线x=1所围成

1个回答

承华采0bg

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要 z=√（x^2+y^2)是一个上锥面的漏斗形,在XOY平面投影是由x^2+y^2=1所围成,

转换为柱面坐标,0≤r≤1,0≤θ≤2π,r≤z≤1

I=∫∫∫[Ω]zdzdydx

=∫[0,2π]dθ∫[0,1] rdr∫[r,1]zdz

=∫[0,2π]dθ∫[0,1](1/2(1-r^2) rdr

=(1/2)∫[0,2π]dθ∫[0,1](r-r^3)dr

=(1/2)∫[0,2π][0,1](r^2/2-r^4/4)dθ

=(1/2)∫[0,2π](1/4)dθ

=(1/8)*2π

=π/4.

咨询记录 · 回答于2021-12-22

计算二重积分I=∫∫xy^2dσ,其中D由抛物线y^2=4x和直线x=1所围成

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

z=√（x^2+y^2)是一个上锥面的漏斗形,在XOY平面投影是由x^2+y^2=1所围成,转换为柱面坐标,0≤r≤1,0≤θ≤2π,r≤z≤1I=∫∫∫[Ω]zdzdydx=∫[0,2π]dθ∫[0,1] rdr∫[r,1]zdz=∫[0,2π]dθ∫[0,1](1/2(1-r^2) rdr=(1/2)∫[0,2π]dθ∫[0,1](r-r^3)dr=(1/2)∫[0,2π][0,1](r^2/2-r^4/4)dθ=(1/2)∫[0,2π](1/4)dθ=(1/8)*2π=π/4.

已赞过

评论收起