Question

f''(x)-f'(x)=e^x

Answer 1

问：f''(x)-f'(x)=e^x

答：e^x(x+C)

答：齐次方程f'(x)-f(x)=0的特征方程是r-1=0,则r=1∴此齐次方程的通解是f(x)=Ce^x (C是常数)∵设原方程的解为f(x)=Axe^x,代入原方程得Axe^x+Ae^x-Axe^x=e^x==>Ae^x=e^x==>A=1∴f(x)=xe^x是原方程的一个解故原方程的通解是f(x)=xe^x+Ce^x=e^x(x+C)

问：我写的是二次求导

问：不是一次

问：特征方程就不对

答：f''(x)－f(x)=e^x是二阶线性非齐次常微分方程，它对应的齐次方程为f''(x)+f(x)=0,特征根为±i,1不是特征根，所以方程特解为f(x)=Ae^x代入得：2Ae^x=e^x,得A=1/2所以特解为f(x)=1/2e^x所以通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx+1/2e^x