a+2bcosc=0,求tanc+3tanb的值
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，a+2bcosc=0,求tanc+3tanb的值：由正弦定理得sinA=2sinBsincC。很显然，此三角形不可能是钝角三角形，但可能是直角三角形或锐角三角形。但显然在直角三角形中，tanA+tanB+tanC不可能取到最小值，因为其值为无穷大。所以只需考虑锐角三角形。锐角三角形中，tanA+tanB+tanC的值必然大于0。由于是在三角形中，所以A=π-(B+C)=π-B-C。sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinC。上式两边同除cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC。又tanA=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)。所以tanA+tanB+tanC=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)+tanB+tanC=(tanB+tanC)[1+1/(tanBtanC-1)]=2tan^2Btan^2C/(tanBtanC-1)。（事实上以上式子也可以用三角形内的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC获得）设tanBtanC-1=x，则有tanA+tanB+tanC=2(x+1)^2/x=f(x)。由于只需考虑锐角三角形的情况，所以B+C＞90°，所以tanBtanC>1，即x>0。f(x)=2x+2/x+4。当x＞0时，f(x)的最小值为8，当x=1时取到。所以tanA+tanB+tanC的最小值为8，此时tanA=4，tanB=tanC=2。
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咨询记录 · 回答于2022-10-06
a+2bcosc=0,求tanc+3tanb的值
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亲，您好很高兴为您回答这个问题哦~，a+2bcosc=0,求tanc+3tanb的值：由正弦定理得sinA=2sinBsincC。很显然，此三角形不可能是钝角三角形，但可能是直角三角形或锐角三角形。但显然在直角三角形中，tanA+tanB+tanC不可能取到最小值，因为其值为无穷大。所以只需考虑锐角三角形。锐角三角形中，tanA+tanB+tanC的值必然大于0。由于是在三角形中，所以A=π-(B+C)=π-B-C。sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinC。上式两边同除cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC。又tanA=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)。所以tanA+tanB+tanC=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)+tanB+tanC=(tanB+tanC)[1+1/(tanBtanC-1)]=2tan^2Btan^2C/(tanBtanC-1)。（事实上以上式子也可以用三角形内的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC获得）设tanBtanC-1=x，则有tanA+tanB+tanC=2(x+1)^2/x=f(x)。由于只需考虑锐角三角形的情况，所以B+C＞90°，所以tanBtanC>1，即x>0。f(x)=2x+2/x+4。当x＞0时，f(x)的最小值为8，当x=1时取到。所以tanA+tanB+tanC的最小值为8，此时tanA=4，tanB=tanC=2。
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