Question

求二元函数 sin(y+z)+xy+z^2=1 的一阶偏导数

Answer 1

问：求二元函数 sin(y+z)+xy+z^2=1 的一阶偏导数

答：函数z=x^2+xy+y^2的一阶偏导数z'x、z'y的具体步骤。思路一：定义法求偏导数z'x=lim(t→0)[(x+t)^2+(x+t)y+y^2-(x^2+xy+y^2)]/t,=lim(t→0)[2xt+t^2+(x+t)y-xy)]/t,=lim(t→0)[2xt+t^2+ty)]/t,=lim(t→0)(2x+t+y)=2x+y。同理：z'y=lim(t→0)[x^2+x(y+t)+(y+t)^2-(x^2+xy+y^2)]/t,=lim(t→0)(xt+2ty+t^2)/t,=lim(t→0)(x+2y+t),=x+2y。

答：思路二：全微分求偏导数z=x^2+xy+y^2，方程两边同时求全导数得：dz=2xdx+ydx+xdy+2ydy,即：dz=(2x+y)dx+(x+2y)dy所以：z'x=2x+y, z'y=x+2y。

答：思路三：直接法求解z=x^2+xy+y^2，求z对x的偏导数时，把y看成常数，则：z'x=(x^2)'x+(xy)'x+(y^2)'x=2x+y+0=2x+y;同理，求z对y的偏导数时，把x看成常数，即：z'y=(x^2)'y+(xy)'y+(y^2)'y=0+x+2y=x+2y。