Question

已知矩阵A为4阶方阵,且元素均为1,求Aⁿ

Answer 1

问：已知矩阵A为4阶方阵,且元素均为1,求Aⁿ

答：您好，很高兴为您解答。已知矩阵A为4阶方阵,且元素均为1,求Aⁿ，计算解答如下：|A|=0，则它必有特征值0，又因为r(A)=1，AX=0的解空间的维数是4-r(A)=3，从而0是A的三重特征值，由于A的各行加起来都是4，则设X0=(1,1,1,1)^T，便有AX0=4X0，从而4也是A的特征值，故A的全部特征值0，0，0，4。

答：因为显然矩阵的秩为1，只有一个非零特征值，其余为0， 矩阵的迹Tr(A)=4,那么A的n次方就是4。

答：判断矩阵可对角化的充要条件：矩阵可对角化有两个充要条件：1、矩阵有n个不同的特征向量。2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。

答：求n阶矩阵A的特征值的基本方法：根据定义可改写为关系式，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ-，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。

答：解此行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。