Question

试函数f(x)=x³-ax+lnx单调性

Answer 1

问：试函数f(x)=x³-ax+lnx单调性

答：首先求导得到：f'(x) = 3x² - a + 1/x如果要研究函数f(x)的单调性，需要找到其导函数f'(x)的零点和间断点。对于该函数，可以分为以下几种情况：当a=1时，f'(x) = 3x²，只有一个零点x=0。因此，当a=1时，函数f(x)在(0,∞)上单调递增。当a≠1时，由于f'(x)是一个二次函数，因此其零点可以用求根公式求得：Δ = a² - 12当Δ > 0时，f'(x)有两个零点，分别为： x1 = [a - sqrt(a² - 12)]/6 x2 = [a + sqrt(a² - 12)]/6 当Δ = 0时，f'(x)有一个零点： x0 = a/6 当Δ 0时，f'(x)没有零点。对于这三种情况，我们可以分别讨论函数f(x)的单调性：当Δ > 0时，f'(x)在(0, x1)和(x2, ∞)上为正，在(x1, x2)上为负，因此f(x)在(0, x1)和(x2, ∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减。当Δ = 0时，f'(x)在(0, x0

答：，f'(x)在(0, x0)和(x0, ∞)上为正，因此f(x)在(0, x0)和(x0, ∞)上单调递增。当Δ < 0时，f'(x)在(0, ∞)上均为正，因此f(x)在(0, ∞)上单调递增。综上所述，当a=1时，函数f(x)在(0,∞)上单调递增；当a≠1时，函数f(x)在(0, x1)和(x2, ∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减，在(0, x0)和(x0, ∞)上单调递增。

问：用导数求函数的单调性这些题全部怎么做

问：这些题全部怎么做

答：全部都写出来答案告诉你还是把方法告诉你

问：全部写出来

答：有的多

答：我一个一个写

答：第一题函数f(x)的导函数为f'(x) = 1 - 1/x^2，为了判断f(x)的单调性，只需要判断f'(x)的正负性。当x > 0时，x^2 > 0，所以1/x^2 > 0，从而f'(x) = 1 - 1/x^2 > 0，即f(x)在x > 0时单调递增。当x 0时，x^2 > 0，所以1/x^2 > 0，从而f'(x) = 1 - 1/x^2 < 0，即f(x)在x 0时单调递减。因为f(x)在x = 0处没有定义，所以需要单独讨论。当x > 0时，因为x > 1，所以f(x) = x + 1/x > 1 + 1/1 = 2。因此，f(x)在x > 0时大于2，即单调递增。当x < 0时，因为x < -1，所以f(x) = x + 1/x < -1 + (-1) = -2。因此，f(x)在x < 0时小于-2，即单调递减。

答：第二题f'(x) = [(2)(x+1) - (2x-1)(1)]/(x+1)^2= (2x+2-2x+1)/(x+1)^2= 3/(x+1)^2当 x > -1 时，导数始终为正，因为实数的平方始终为非负数。因此，函数 f(x) 在区间 (-∞, -1) 和区间 (-1, ∞) 上单调递增。总之，函数 f(x) = (2x-1)/(x+1) 在区间 (-∞, -1) 和区间 (-1, ∞) 上单调递增。

答：第三要确定函数 f(x) = (x^2 - 3x + 4) / x 的单调性，我们需要找到它的导数：f'(x) = [(2x-3)(x) - (x^2 - 3x + 4)(1)] / x^2 = (2x^2 - 3x - x^2 + 3x - 4) / x^2 = (x^2 - 4) / x^2将分式化简为：f'(x) = 1 - 4/x^2导数 f'(x) 的符号取决于 1 和 4/x^2 的大小关系。当 x > 0 时，f'(x) > 0 当且仅当 1 > 4/x^2，即 x^2 > 4，也就是 x -2 或 x > 2。当 x 0 时，f'(x) > 0 当且仅当 1 < 4/x^2，即 x^2 < 4，也就是 -2 < x 2。当 x = 0 时，f'(x) 没有定义。因此，函数 f(x) 在区间 (-∞, -2) 和区间 (0, 2) 上单调递增，在区间 (-2, 0) 和区间 (2, ∞) 上单调递减。而当 x > 0 时，函数 f(x) 为正值，当 x < 0 时，函数 f(x) 为负值。因此，函数 f(x) 在区间 (-∞, -2) 上单

答：第三f'(x) = [(2x-3)(x) - (x^2 - 3x + 4)(1)] / x^2 = (2x^2 - 3x - x^2 + 3x - 4) / x^2 = (x^2 - 4) / x^2将分式化简为：f'(x) = 1 - 4/x^2导数 f'(x) 的符号取决于 1 和 4/x^2 的大小关系。当 x > 0 时，f'(x) > 0 当且仅当 1 > 4/x^2，即 x^2 > 4，也就是 x -2 或 x > 2。当 x 0 时，f'(x) > 0 当且仅当 1 < 4/x^2，即 x^2 < 4，也就是 -2 < x 2。当 x = 0 时，f'(x) 没有定义。因此，函数 f(x) 在区间 (-∞, -2) 和区间 (0, 2) 上单调递增，在区间 (-2, 0) 和区间 (2, ∞) 上单调递减。而当 x > 0 时，函数 f(x) 为正值，当 x < 0 时，函数 f(x) 为负值。因此，函数 f(x) 在区间 (-∞, -2) 上单调递增且非负，在区间 (-2, 0) 上单调递减且非正，在区间 (0, 2) 上单调递增且非负。