Question

15.已知a大于且等于-3，解关于x的方程+x^4-6x^3-2(a-3)x^2+2(3a+4)x+2a+a^2=0

Answer 1

问：15.已知a大于且等于-3，解关于x的方程+x^4-6x^3-2(a-3)x^2+2(3a+4)x+2a+a^2=0

答：将方程写成每个系数的形式：x^4-6x^3-2(a-3)x^2+2(3a+4)x+2a+a^2 = 0然后，我们可以利用因式定理，猜测 x - k 是这个方程的一个因式，其中 k 是方程的一个实数根。于是，我们将方程除以 x - k 得到：(x - k)(x^3 + px^2 + qx + r) = 0其中，p、q、r 是根据多项式长除法算出的系数。根据系数的关系，我们有：p = k - 6q = 2(3a+4) - 2(a-3)kr = (2a + a^2) - 2(3a+4)k + k^2由于 x - k 和 x^3 + px^2 + qx + r 是两个相邻的因式，它们必须共享一个公共根。因此，我们可以将 x^3 + px^2 + qx + r 再次使用因式定理分解为：(x - k)(x^2 + (k-6)x + s) = 0其中，s 是另一个系数，也可以通过多项式长除法得出。然后，我们可以使用求根公式或因式分解来求解 x^2 + (k-6)x + s = 0，从而得到另外两个根。注意，这里的求根公式需要考虑到 k 的值大于或等于 -3，因此可能存在实根和虚根的情况。

问：老师，还有吗？

答：解：设x=t-a，则上式可化为t^4-6t^3+2(3a+4)t-2a(a+3)+a^2=0令y=t-2a，则上式可化为y^4-6y^3+2(3a+4)(2a+y)+a^2=0令z=y+2a，则上式可化为z^4-6z^3+2(3a+4)z+a^2=0即z^4-6z^3+4z^2-2z+1=0令w=z+1/2，则上式可化为w^4-4w^3+3w^2-1=0即(w-1)(w-1/2)(w+1)(w+1/2)=0得w=1,1/2,-1,-1/2所以z=w-1/2=0,-1/2,-2,-3/2即y=z-2a=-2a,-2a-1/2,-2a-2,-2a-3/2最后得x=y+a=-3a,-3a-1/2,-2a-2,-2a-3/2