22.求微分方程f'(x)-xf(x)=2x满足f(0)=1的特解
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**亲，您好！**
**为您解惑如下！**
微分方程 $f'(x) - xf(x) = 2x$ 满足 $f(0) = 1$ 的特解是：特解为 $f_p(x) = 2x + 2$。
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。
微积分学的奠基人 Newton 和 Leibniz 的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
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咨询记录 · 回答于2024-01-18
22.求微分方程f'(x)-xf(x)=2x满足f(0)=1的特解
# 微分方程f'(x)-xf(x)=2x满足f(0)=1的特解是：特解为f_p(x)=2x+2。
## 微分方程
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
## 微分方程的应用
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
过程呢？半天就这个？
将方程f'(x)-xf(x)=2x写成完全微分形式，即：
(d/dx)(e^(-x^2/2)f(x)) = 2xe^(-x^2/2)
两边同时积分，得到：
e^(-x^2/2)f(x) = -∫(2xe^(-t^2/2))dt + C
其中C是常数，由于f(0)=1，代入可得C=1。
因此将方程f'(x)-xf(x)=2x写成完全微分形式为：
(d/dx)(e^(-x^2/2)f(x)) = 2xe^(-x^2/2)
两边同时积分，得到：
e^(-x^2/2)f(x) = -∫(2xe^(-t^2/2))dt + C
其中C是常数，由于f(0)=1，代入可得C=1。
特解为f_p(x)=2x+2。
# 知识扩展
：微分方程的解法：
1. 可分离变量的微分方程=f(x）·g(y)的解法：分离变量法。
解题步骤：
① 分离变量=f(x)dx；
2. 可化为分离变量的微分方程的方程+p(x)·q(y)=0的解题步骤：
① 移项=p(x）·q(y）(化为可分离变量的微分方程)；
② 用分离变量法得微分方程的通解。
3. 一阶线性齐次微分方程+p(x)y=0的解法：
(方法一) 这是一个可化为分离变量的微分方程的方程，故可用分离变量法。
(方法二）公式法只需代入通解公式y=ce计算一下即可。
：微分方程的解法：
1. 可分离变量的微分方程=f(x）·g(y)的解法：分离变量法。
解题步骤：
① 分离变量=f(x)dx；
2. 可化为分离变量的微分方程的方程+p(x)·q(y)=0的解题步骤：
① 移项=p(x）·q(y）(化为可分离变量的微分方程)；
② 用分离变量法得微分方程的通解。
3. 一阶线性齐次微分方程+p(x)y=0的解法：
(方法一) 这是一个可化为分离变量的微分方程的方程，故可用分离变量法。
(方法二）公式法只需代入通解公式y=ce计算一下即可。
能不能写纸上发来
抱歉哦亲亲，平台有规定，图片发不了呢
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