Question

y''=y'-x微分方程的解

Answer 1

问：y''=y'-x微分方程的解

答：可以使用常系数齐次线性微分方程的解法来求解此微分方程。首先，我们设 $y = e^{mx}$，其中 $m$ 是一个常数。然后计算 $y'$ 和 $y''$： $$y' = me^{mx}, \quad y'' = m^2e^{mx}$$ 将这些结果代入原方程得到： $$m^2e^{mx} - me^{mx} - xe^{mx} = 0$$ 将 $e^{mx}$ 提取出来，得到： $$e^{mx}(m^2 - m - x) = 0$$ 因为 $e^{mx}$ 不可能为零，所以 $m^2 - m - x = 0$。这是一个二次方程，可以使用求根公式解出 $m$： $$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}$$ 因此，方程的通解为： $$y = c_1e^{\frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}x} + c_2e^{\frac{1 - \sqrt{1 + 4x}}{2}x}$$ 其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。