Question

4.求由圆柱面+x^2+y^2=1，曲面z=√(x^2+y^2) +1及平面z=0所围成的立体的体积

Answer 1

问：4.求由圆柱面+x^2+y^2=1，曲面z=√(x^2+y^2) +1及平面z=0所围成的立体的体积

答：求由圆柱面$x^{2} + y^{2} = 1$，曲面$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + 1$及平面$z = 0$所围成的立体的体积的答案是： 对于圆柱面部分，它的限制条件为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$，因此可以使用极坐标变换将其表示为 $r \leq 1$。 对于曲面部分，它的限制条件为 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + 1$，因此可以对其进行平方化简并代入得到 $z = \sqrt{2}\sqrt{r} + 1$。 平面$z = 0$作为底面，对应的积分区间为$[0, 2\pi]$。 由此可得该立体的体积公式为： $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}\sqrt{r} + 1} r dz dr d\theta$ 通过计算可以得到： $V = \frac{\pi}{6}(5 + 4\sqrt{2})$ 单位为立方单位。

答：**拓展相关：** 圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。 - 圆柱（cylinder）是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。 - 如图1所示，两个圆形底面圆心分别为点 和点 ， 所在直线叫做圆柱的轴；两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 - 当圆柱的轴与圆柱的底面垂直时，称该圆柱为直圆柱；当圆柱的轴与圆柱底面不垂直时，称该圆柱为斜圆柱。 - 如果母线是和相互平行，那么所生成的旋转面叫做圆柱面。 - 如果用两个平行平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面所围成的几何体称为圆柱。 - 如果两个平行平面垂直于轴，那么称该圆柱为直圆柱（简称圆柱）；如果两个平行平面不垂直于轴，那么称该圆柱为斜圆柱。