Question

求矩阵2+-1+1,0+1+1,-1+1+1的特征值和特征向量

Answer 1

问：求矩阵2+-1+1,0+1+1,-1+1+1的特征值和特征向量

答：亲您好首先，我们需要求解矩阵的特征方程，可以通过求解行列式的方式得到，即求解 |A - λI| = 0，其中 λ 是特征值，I 是单位矩阵。计算得到：|A - λI| = \begin{vmatrix} 2 - λ & -1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ -1 & 1 & 1 - λ \end{vmatrix} = (2 - λ)[(1 - λ)(1 - λ) - 1] + (-1)[(-1)(1 - λ) - (1)(-1)] + (1)[(-1)(1) - (1 - λ)(-1)] = λ^3 - 4λ^2 + 3λ = λ(λ - 1)(λ - 3)。解特征方程 λ(λ - 1)(λ - 3) = 0，得到特征值 λ₁ = 0，λ₂ = 1，λ₃ = 3。接下来，针对每个特征值，我们求解对应的特征向量。当 λ = 0 时，代入矩阵 A - λI，得到：\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}。化简得到方程组：2x - y + z = 0，y + z = 0，-x + y + z = 0。解方程组，得到特征向量 v₁ = [1, -1, 1]。当 λ = 1 时，代入矩阵 A - λI，得到：\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}。化简得到方程组：x - y + z = 0，z = 0。-x + y = 0。解方程组，得到特征向量 v₂ = [1, 1, -1]。当 λ = 3 时，代入矩阵 A - λI，得到：\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix

问：第二题

问：麻烦快点