Question

五证明题(6分)设n阶矩阵A满足多项式 f(x)=x^2-2x ,即 f(A)=0,-|||-求A的核空

Answer 1

问：五证明题(6分)设n阶矩阵A满足多项式 f(x)=x^2-2x ,即 f(A)=0,-|||-求A的核空

答：亲，设n阶矩阵A满足多项式 f(x)=x^2-2x ，即 f(A)=0。要求A的核空间，即要求解齐次线性方程组 Ax=0 的解空间。首先，根据多项式的定义，我们有 f(A)=A^2-2A=0。根据这个等式，我们可以得到 A^2=2A。我们将 A^2=2A 带入到 Ax=0 中，得到 (2A)x=0。由于 A^2=2A，我们可以继续化简为 Ax=0。这意味着矩阵A的任意向量x都是其零空间的解，即 A的零空间包含整个n维空间。A的核空间是整个n维空间，即 Ker(A)=R^n。

答：矩阵A满足多项式 f(x)=x^2-2x 的条件意味着 A 是 f(x) 的特征矩阵。特征矩阵的定义是满足方程 Av=λv 的矩阵 A，其中 v 是非零向量，λ 是相应的特征值。根据多项式的根的性质，我们可以得到特征值 λ=0 和 λ=2。对于特征值 λ=0，我们有方程 Av=0v=0，即 A 的零空间对应于特征值 λ=0 的特征向量。由于零空间是由所有解向量组成的，所以 A 的零空间是整个n维空间 R^n。