Question

5.设f(x)=1/x,则差商f[1,2,⋯,n]=+-1.

Answer 1

问：5.设f(x)=1/x,则差商f[1,2,⋯,n]=+-1.

答：首先，差商的定义如下所示：对于给定的函数f和x的n个值$x_0, x_1, \dots, x_n$，定义n阶差商为：$$f[x_0, x_1, \dots, x_n] = \sum_{i=0}^n\frac{f(x_i)}{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}$$其中，当$i=j$时，乘积$\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)$的值为1。对于$f(x)=1/x$，我们有：$$f[1,2,\dots,n]=\sum_{i=0}^n\frac{f(x_i)}{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \sum_{i=0}^n\frac{1/x_i}{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}$$由于$x_0=1,x_1=2,\dots,x_n=n$，因此：$$f[1,2,\dots,n] = \sum_{i=0}^n\frac{1/x_i}{\displaystyle\prod_{j\neq i}