f（x）=（1/x +a）ln（x+1）在（0，+∞）单调递增，求a取值范围
1个回答
关注
![]()
展开全部
您好，很高兴为您解答
首先求导数：f'(x) = [ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1)] / ln2
要使f(x)在(0, +∞)单调递增，即f'(x) > 0，因此，ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1) > 0
ln(x + 1) > (1/x + a) / (x + 1)
xln(x + 1) > 1 + a
令g(x) = xln(x + 1)，则g'(x) = ln(x + 1) + x / (x + 1) > 0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增。
因此，要满足xln(x + 1) > 1 + a，则必须有g(0) = 0 > 1 + a，即a < -1。
又因为当x趋近于+∞时，xln(x + 1)趋近于+∞，所以没有上限。
综上所述，a∈(-∞, -1)。
咨询记录 · 回答于2023-12-27
f（x）=（1/x +a）ln（x+1）在（0，+∞）单调递增，求a取值范围
您好，很高兴为您解答：
首先求导数：f'(x) = [ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1)] / ln2
要使f(x)在(0, +∞)单调递增，即f'(x) > 0，因此，ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1) > 0
ln(x + 1) > (1/x + a) / (x + 1)
xln(x + 1) > 1 + a
令g(x) = xln(x + 1)，则g'(x) = ln(x + 1) + x / (x + 1) > 0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增。
因此，要满足xln(x + 1) > 1 + a，则必须有g(0) = 0 > 1 + a，即a < -1。
又因为当x趋近于+∞时，xln(x + 1)趋近于+∞，所以没有上限。
综上所述，a∈(-∞, -1)。
：
首先求导数：f'(x) = [ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1)] / ln2
要使f(x)在(0, +∞)单调递增，即f'(x) > 0，因此，ln(x + 1) - (1/x + a) / (x + 1) > 0
ln(x + 1) > (1/x + a) / (x + 1)
xln(x + 1) > 1 + a
令g(x) = xln(x + 1)，则g'(x) = ln(x + 1) + x / (x + 1) > 0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增。
因此，要满足xln(x + 1) > 1 + a，则必须有g(0) = 0 > 1 + a，即a < -1。
又因为当x趋近于+∞时，xln(x + 1)趋近于+∞，所以没有上限。
综上所述，a∈(-∞, -1)。
分母只有x没有a
非常抱歉，我的回答前半段有误。在没有a的情况下，对于f(x) = [ln(x+1)]/x，我们有：
f'(x) = [(1/x+1)ln(x+1) - ln(x+1) / x^2] / (x+1)^2
等式两边同乘以x^2(x+1)^2，化简得
x(x+1)ln(x+1) - (x+1)ln(x+1) 0
即
ln(x+1) x/(x+1)
令g(x) = ln(x+1) - x/(x+1)，则g'(x) = 1/(x+1) - 1/(x+1)^2
当x > 0时，g'(x) > 0，因此g(x)在(0, +∞)上单调递增；
g(0) = 0，因此g(x) > 0，即ln(x+1) > x/(x+1)。
所以原式在(0, +∞)上单调递增，无论a取何值。
是这样吗？
嗯嗯
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
