Question

证明线性空间可以分解成一些子空间的直和

Answer 1

问：证明线性空间可以分解成一些子空间的直和

答：亲亲很高兴为您解答：证明线性空间可以分解成一些子空间的直和步骤如下：证明：设 $V$ 是一个 $n$ 维线性空间，$W_1, W_2, \cdots, W_k$ 是 $V$ 的 $k$ 个子空间，我们要证明 $V$ 可以分解为这些子空间的直和。首先，我们证明这些子空间的交集为零空间，即 $W_i \cap W_j={0}$，其中 $i \neq j$。假设存在 $w \in W_i \cap W_j$，$i \neq j$。由于 $w \in W_i$，且 $W_i$ 是一个子空间，因此 $w$ 与 $W_i$ 中的所有向量线性组合所得到的向量仍然在 $W_i$ 内。同理，$w$ 也在 $W_j$ 内。但是，由于 $i \neq j$，因此 $w$ 既在 $W_i$ 中，又在 $W_j$ 中，这意味着 $w$ 必须等于零向量，即 $w=0$。因此，$W_i \cap W_j={0}$。接下来，我们证明 $V$ 可以分解为 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 的直和。根据定义，当 $V$ 中的任意一个向量 $v$ 可以唯一地表示为 $v=w_1+w_2+\cdots+w_k$，其中 $w_i \in W_i$，且 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 的交集为零空间时，就称 $V$ 是 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 的直和，并记作 $V=W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$。现在，我们来证明这个定义。首先，我们证明 $V$ 可以表示为 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 的和。对于任意向量 $v \in V$，由于 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 是 $V$ 的子空间，因此 $v$ 可以表示为 $v=w_1'+w_2'+\cdots+w_k'$，其中 $w_i' \in W_i$。然后，我们证明 $V$ 可以唯一地表示为 $W_1, W_2, \cdots, W_k$ 的和。假设 $v=w_1'+w_2'+\cdots+w_k'=w_1''+w_2''+\cdots+w_k''$，其中 $w_i', w_i'' \in W_i$，我们要证明 $w_i'=w_i''$。我们可以将上式变形为 $w_1'+w_2'+\cdots+w_k'

答：这位同学要证明一个集合是线性空间，需要满足以下条件：封闭性：对于集合中任意两个元素，其线性组合也属于该集合；加法交换律：对于集合中任意两个元素，它们的加法满足交换律；加法结合律：对于集合中任意三个元素，它们的加法满足结合律；存在加法单位元素：存在一个元素，称为加法单位元素，使得任何元素与它的加法等于它本身；存在加法逆元素：对于集合中任意一个元素，存在一个元素，称为它的加法逆元素，使得两者相加等于加法单位元素；数乘结合律：对于任意一个标量和两个向量，它们的数乘满足结合律；数乘分配律1：对于任意一个标量和两个向量，数乘对于向量加法满足分配律；数乘分配律2：对于任意两个标量和一个向量，标量乘法对于向量加法满足分配律；存在标量单位元素：存在一个标量，称为标量单位元素，使得任何向量与它的数乘等于它本身。如果一个集合满足以上所有条件，则该集合就是线性空间。

问：考试怎么写步骤

答：证明线性空间可以分解成一些子空间的直和的一般步骤如下：首先，选择这个线性空间的一组基，设为$B={v_1,v_2,\cdots,v_n}$。假设$V$是一个线性空间，$V_1,V_2,\cdots,V_k$是$V$的一些子空间，且每个元素$v\in V$都可以唯一地表示为$v=v_1+v_2+\cdots+v_k$，其中$v_i\in V_i$，则称$V$可以分解成子空间$V_1,V_2,\cdots,V_k$的直和，记为$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$。因此，要证明$V$可以分解成子空间的直和，需要证明$\forall v\in V$，都能够唯一地表示成$V_1,V_2,\cdots,V_k$的和。接下来，对于任意的$v\in V$，设$v=v_1+v_2+\cdots+v_k$，$w=w_1+w_2+\cdots+w_k$，其中$v_i,w_i\in V_i$，则有：$$v+w=(v_1+w_1)+(v_2+w_2)+\cdots+(v_k+w_k)$$需要证明的是，当$v\neq w$时，$v,w$的分解方式唯一。假设$v=v_1+v_2+\cdots+v_k=w_1+w_2+\cdots+w_k$，则有$(v_1-w_1)+(v_2-w_2)+\cdots+(v_k-w_k)=0$。由于$v_1-w_1\in V_1$，$v_2-w_2\in V_2$，$\cdots$，$v_k-w_k\in V_k$，因此有$v_1-w_1=v_2-w_2=\cdots=v_k-w_k=0$，即$v=w$。所以，$v,w$的分解方式唯一。因此，$\forall v\in V$，都能够唯一地表示成$V_1,V_2,\cdots,V_k$的和，即$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$。

答：最后，需要证明$V$的分解方式是唯一的。假设$V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m$，则有$\dim V=\dim U_1+\dim U_2+\cdots+\dim U_m$。由于$V_1\subseteq V$，所以$\dim V_1\leq\dim V$。又因为$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$，所以有$\dim V_1+\dim V_2+\cdots+\dim V_k=\dim V$。因此，$\dim V_1\leq\dim U_1+\dim U_2+\cdots+\dim U_m$。同理，$\dim U_1\leq\dim V_1+\dim V_2+\cdots+\dim V_k$。因此，$m=k$，$U_i=V_i$，即分解方式唯一。综上所述，这就是证明线性空间可以分解成一些子空间的直和的一般步骤。