6.已知正数a,b,c满足 e^a=b=lnc, e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的

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摘要首先，根据 e^a = b = ln c，可得 e^(e^a) = e^b = c。接下来，将这个结果代入到不等式中：(e^a + c)^2 ≥ 4e^a c(e^a + e^(e^a))^2 ≥ 4e^a e^(e^a)将 e^a 看做一个整体，令 x = e^a，则有：(x + c)^2 ≥ 4xc(x + e^x)^2 ≥ 4xe^x现在可以对这两个不等式分别进行讨论。首先，针对第一个不等式，有：(x + c)^2 ≥ 4xc等价于：x^2 + (c-4)x + c^2 ≥ 0由于 a, b, c 都是正数，因此 c > 1，那么 c^2 > c > 4c > 4c-4，于是有：x^2 + (c-4)x + c^2 > x^2 + (4c-4)x + (4c-4) > (x + 2c - 2)^2因此：x^2 + (c-4)x + c^2 > (x + 2c - 2)^2不等式两边取平方根，得：x + c > x + 2c - 2因此：c > 1

咨询记录 · 回答于2023-05-25

6.已知正数a,b,c满足 e^a=b=lnc, e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的

首先，根据 e^a = b = ln c，可得 e^(e^a) = e^b = c。接下来，将这个结果代入到不等式中：(e^a + c)^2 ≥ 4e^a c(e^a + e^(e^a))^2 ≥ 4e^a e^(e^a)将 e^a 看做一个整体，令 x = e^a，则有：(x + c)^2 ≥ 4xc(x + e^x)^2 ≥ 4xe^x现在可以对这两个不等式分别进行讨论。首先，针对第一个不等式，有：(x + c)^2 ≥ 4xc等价于：x^2 + (c-4)x + c^2 ≥ 0由于 a, b, c 都是正数，因此 c > 1，那么 c^2 > c > 4c > 4c-4，于是有：x^2 + (c-4)x + c^2 > x^2 + (4c-4)x + (4c-4) > (x + 2c - 2)^2因此：x^2 + (c-4)x + c^2 > (x + 2c - 2)^2不等式两边取平方根，得：x + c > x + 2c - 2因此：c > 1

接下来，针对第二个不等式，同样可以做出类似的推导：(x + e^x)^2 ≥ 4xe^x等价于：x^2 + (e^x-4)x + e^(2x) ≥ 0要使该不等式成立，需要其中的判别式非负，即：(e^x-4)^2 - 4e^(2x) ≤ 0

综上所述，满足下列条件的不等式一定成立：c > 1x ≤ ln (2 + 2√3) 或 x ≥ ln (2 - 2√3)，其中 x = e^a

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