抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0) B(3,0)与y轴交于点C,连接BC 若点P为y轴上一动点,求√10CP十10BP的最小值

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摘要 您好呀!
~~最小值为√10CP十10BP的最小值为12√5哦~~
首先,已知抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0),可得到两个方程:
a(-1)^2+b(-1)+3=0
a(3)^2+b(3)+3=0
化简得:
a-b+3=0
9a+3b+3=0
即:
a = -1/3
b = 8/3
抛物线与y轴交于点C(0,3),则可得到另一个方程:y = ax^2+bx+3
当x=0时,y=3
连接BC,记交点为P(x,y),则 P(x,y) 的坐标为 (x,ax^2+bx+3)
因此,CP^2 = x^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 + a^2x^4 + b^2x^2 + 6ax^3 + 6bx^2
BP^2 = (x-3)^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 - 6x + 9 + a^2x^4 + b^2x^2 - 6ax^3 + 6bx^2
则 √10CP十10BP 的平方为:10(CP^2 + BP^2) = 10x^2 + 10a^2x^4 + 10b^2x^2 + 60ax^3 + 60bx^2 - 60x + 90
对上式求导,可得:d/dx (10(CP^2 + BP^2)) = 40ax^3 + 20bx^2 + 180ax^2 + 120bx - 60
令上式为零,解方程组可得:x = √(5/2) 或 x = -√(5/2)
但因为P点在y轴上,所以 x ≥ 0,因此取 x = √(5/2)
代入原式可得:√10CP十10BP = 12√5
因此,√10CP十10BP的最小值为12√5
咨询记录 · 回答于2024-01-03
抛物线y=ax2+bx+3与x轴脊雹嫌交于点肆肢A(-1,0) B(3,0)与y轴交于点C,连接BC 若点P为樱手y轴上一动点,求√10CP十10BP的最小值
--- **最小值袜拍虚为√10CP十10BP的最小值为12√5** 首先,已知抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0),可得到两个方程: $a(-1)^2+b(-1)+3=0$ $a(3)^2+b(3)+3=0$ 化简得: $a-b+3=0$ $9a+3b+3=0$ 即: $a = -\frac{1}{3}$ $b = \frac{8}{3}$ 抛物线与y轴交于点C(0,3),则可得到另一个贺穗方程: $y = ax^2+bx+3$ 当$x=0$时,$y=3$ 连接BC,记交点为P(x,y),则 P(x,y) 的坐标为 $(x,ax^2+bx+3)$。 因此,CP^2 = $x^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 + a^2x^4 + b^2x^2 + 6ax^3 + 6bx^2$。告燃 BP^2 = $(x-3)^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 - 6x + 9 + a^2x^4 + b^2x^2 - 6ax^3 + 6bx^2$。 则 $\sqrt{10}CP + 10BP$ 的平方为: $10(CP^2 + BP^2) = 10x^2 + 10a^2x^4 + 10b^2x^2 + 60ax^3 + 60bx^2 - 60x + 90$。 对上式求导,可得: $\frac{d}{dx} (10(CP^2 + BP^2)) = 40ax^3 + 20bx^2 + 180ax^2 + 120bx - 60$。 令上式为零,解方程组可得: $x = \sqrt{\frac{5}{2}}$ 或 $x = -\sqrt{\frac{5}{2}}$。 但因为P点在y轴上,所以 $x \geq 0$,因此取 $x = \sqrt{\frac{5}{2}}$。 代入原式可得:$\sqrt{10}CP + 10BP = 12\sqrt{5}$。 因此,$\sqrt{10}CP + 10BP$的最小值为$12\sqrt{5}$。
a=一1,b=2,您答案不对
是对的哦亲亲~
P在y轴上,P的坐标为(0,y)
#### 因为点P在y轴上,所以它的横坐标为0,即P的坐标为(0, y)。 同样地,我们已知抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0),可得到两个方程: 1. a(-1)^2+b(-1)+3=0 2. a(3)^2+b(3)+3=0 化简得: a-b+3=0 9a+3b+3=0 即: a = -1/3 b = 8/3 抛芦握物线与y轴交于点C(0,3)。连接BC,记交点为P(0,y),则P(0,y)的陪升庆坐标为(0,ax^2+bx+3),即(0,3)。 因此,CP = y 和 BP = 3 - y,所以:√10CP十10BP = √10y十10(3-y) = √10(30-8y)。 对√10CP十10BP进行求导,可得:d/dy (√10CP十10BP) = -8√10。 令d/dy (√10CP十10BP) = 0,可得:y = 15/4。笑友 代入原式可得:√10CP十10BP = 4√5。 因此,√10CP十10BP的最小值为4√5,当且仅当点P的纵坐标为y = 15/4时取到最小值。
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