Question

求曲线y²＝2mx，Z²＝m-x在点（x。，y。，z。）处的切线及法平面方程

Answer 1

问：求曲线y²＝2mx，Z²＝m-x在点（x。，y。，z。）处的切线及法平面方程

答：首先，我们可以求出曲线的导数：dy/dx = m/sqrt(2mx)然后，根据点（x，y，z）处的坐标，可以求出该点处的导数值，即：dy/dx = m/sqrt(2mx) = m/y接着，我们还需要求出该点处的切向量。由于导数表示的是函数在该点处的斜率，所以切向量的方向应该沿着导数的方向，即 (1, dy/dx, dz/dx)。将上面求得的导数代入，可得：(1, m/y, -1/sqrt(m-x))最后，我们可以得到法平面方程。由于该曲线是二维曲线和一个平面的交线，因此法平面应该垂直于该平面，并且通过点（x，y，z）。因此，法平面的法向量应该垂直于该平面的法向量 (0, 0, 1) 和切向量 (1, m/y, -1/sqrt(m-x))，即：(0, 1/sqrt(2mx), 1/sqrt(m-x))将该法向量代入点法式公式，可得该点处的法平面方程为：y/sqrt(2mx) + z/sqrt(m-x) = y0/sqrt(2mx) + z0/sqrt(m-x)其中，(x0, y0, z0) 是该点的坐标。

答：亲您的问题已经解决了，有什么不懂的吗？可以问

问：我想知道那个求导，为什么求的是这个结果

答：曲线的方程是 $y^{2} = 2mx, Z^{2} = m - x$。 我们需要求出在点 $(x, y, z)$ 处的切线和法平面。 对于曲线 $y^{2} = 2mx$，我们可以通过将曲线方程两边同时对 $x$ 求导得到： $\frac{d(y^{2})}{dx} = \frac{d(2mx)}{dx} \Rightarrow 2y \frac{dy}{dx} = 2m \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{m}{y}$因此，在点 $(x, y, z)$ 处的切线斜率为 $\frac{m}{y}$。 对于曲线 $Z^{2} = m - x$，我们可以通过将曲线方程两边同时对 $x$ 求导得到： $\frac{d(Z^{2})}{dx} = \frac{d(m - x)}{dx} \Rightarrow 2Z \frac{dZ}{dx} = -1 \Rightarrow \frac{dZ}{dx} = -\frac{1}{2Z}$因此，在点 $(x, y, z)$ 处的切线斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{m - x}}$。 最终，我们可以得到该点处的切向量为 $(1, \frac{m}{y}, -\frac{1}{\sqrt{m - x}})$， 法向量为 $(0, \frac{1}{\sqrt{2mx}}, \frac{1}{\sqrt{m - x}})$， 法平面方程为 $\frac{y}{\sqrt{2mx}} + \frac{z}{\sqrt{m - x}} = \frac{y_{0}}{\sqrt{2mx}} + \frac{z_{0}}{\sqrt{m - x}}$。

答：明白了吗

问：懂了，我用高中的方法去做的，没用大学的方法

问：那像这种大学求一个平面的法向量，有没有什么公式啊？

答：没关系，高中的方法同样也是可以用来求解这道题目的。不同的方法会给出不同的解释和理解角度，这也是学习的过程。如果你有任何问题或需要帮助，随时都可以问我哦~

答：是的，求一个平面的法向量可以使用点法式公式。点法式公式可以表示为： n 骼 (r - r0) = 0 其中，n 是平面的法向量，r0 是平面上的任意一点，r 是平面上的另外一个点。骼 表示向量的点积。 如果我们知道平面上的三个不共线的点 A、B 和 C，那么可以先计算两个向量 AB 和 AC，然后取它们的叉积得到平面的法向量 n。具体步骤如下： 1. 计算向量 AB 和 AC： AB = B - A AC = C - A 2. 计算向量 AB 和 AC 的叉积，即平面的法向量 n： n = AB × AC 其中，× 表示向量的叉积。 需要注意的是，如果给定的三个点不在同一个平面上，则无法使用该方法求解平面法向量。

答：亲有的

答：还有，这个，为什么要这样设，这样设的依据是什么？【提问】<

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