Question

2.()l lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1 F(x)=f(xt)dt,先讨论 F(x),F'(x)的连续性,再

Answer 1

问：2.()l lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1 F(x)=f(xt)dt,先讨论 F(x),F'(x)的连续性,再

答：根据题意，可得：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + \tan x}{x} = 1$$移项得：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 - \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$$由极限的定义，可知：$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$因此：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$$即 $f(x)$ 的增长速度远小于 $x$。因此可以得到，$f(0) = 0$。现在考虑 $F(x)$ 和 $F'(x)$ 的连续性。根据定义，$F(x)$ 可表示为：$$F(x)=\int_{0}^{x} f(xt) \mathrm dt$$对 $F(x)$ 和 $F'(x)$ 分别进行讨论：1. 当 $x \neq 0$ 时：$$F(x) = \int_{0}^{x} f(xt) \mathrm dt$$因为 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以 $f(xt)$ 在

答：推导出 lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1。首先考虑 F(x) 的连续性，根据定积分的定义可得：F(x+Δx) - F(x) = ∫x^(x+Δx) f(t) dt当 Δx 趋近于 0 时，上式右边的积分趋近于 0，因此 F(x) 在区间内是连续的。接着考虑 F'(x)，根据导数的定义可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) f(t) dt]/Δx将 f(x) 用泰勒公式展开得：f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + R(x,t)其中 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0。带入上式可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) [f(x)+f'(x)(t-x)+R(x,t)] dt]/Δx = lim_(Δx→0) [f(x)Δx + ∫x^(x+Δx) f'(x)(t-x) dt + ∫x^(x+Δx) R(x,t) dt]/Δx注意到第一个积分恰好为 f(x)Δx，可以省略掉，

答：而第二个积分可以变量代换将其转化为区间 [0, Δx] 上的积分：F'(x) = lim_(Δx→0) [f(x) + ∫0^(Δx) f'(x)t dt + ∫0^(Δx) R(x,x+t) dt]/Δx由于 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0，因此存在一个小量 ε，使得当 |t-x| < ε 时，|R(x,t)| < ε。因此：|∫0^(Δx) R(x,x+t) dt| ≤ εΔx将上面的积分带回原式，得到：F'(x) = lim_(Δx→0) [f(x) + ∫0^(Δx) f'(x)t dt]/Δx + ε = f(x) + lim_(Δx→0) ∫0^(Δx) f'(x)t/Δx dt + ε由于 f(x) 是常数，可以提出来，而对于第二个积分，分子是一条斜率为 f'(x) 的直线，在区间 [0, Δx] 上的平均斜率为 f'(x)/2。因此，

答：2.()l lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1 F(x)=f(xt)dt,先讨论 F(x),F'(x)的连续性,再领航员2023/5/8 20:28:44推导出 lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1。首先考虑 F(x) 的连续性，根据定积分的定义可得：F(x+Δx) - F(x) = ∫x^(x+Δx) f(t) dt当 Δx 趋近于 0 时，上式右边的积分趋近于 0，因此 F(x) 在区间内是连续的。接着考虑 F'(x)，根据导数的定义可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) f(t) dt]/Δx将 f(x) 用泰勒公式展开得：f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + R(x,t)其中 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0。带入上式可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) [f(x)+f'(x)(t-x)+R(x,t)] dt]/Δx = lim_(Δx→0) [f(x)Δx + ∫x

问：直接给我答案

答：第一个：0第二个：1第三个：R

答：最后一个：2

答：推导出 lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1。首先考虑 F(x) 的连续性，根据定积分的定义可得：F(x+Δx) - F(x) = ∫x^(x+Δx) f(t) dt当 Δx 趋近于 0 时，上式右边的积分趋近于 0，因此 F(x) 在区间内是连续的。接着考虑 F'(x)，根据导数的定义可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) f(t) dt]/Δx将 f(x) 用泰勒公式展开得：f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + R(x,t)其中 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0。带入上式可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) [f(x)+f'(x)(t-x)+R(x,t)] dt]/Δx = lim_(Δx→0) [f(x)Δx + ∫x^(x+Δx) f'(x)(t-x) dt + ∫x^(x+Δx) R(x,t) dt]/Δx注意到第一个积分恰好为 f(x)Δx，可以省略掉，

答：2.()l lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1 F(x)=f(xt)dt,先讨论 F(x),F'(x)的连续性,再领航员2023/5/8 20:28:44推导出 lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1。首先考虑 F(x) 的连续性，根据定积分的定义可得：F(x+Δx) - F(x) = ∫x^(x+Δx) f(t) dt当 Δx 趋近于 0 时，上式右边的积分趋近于 0，因此 F(x) 在区间内是连续的。接着考虑 F'(x)，根据导数的定义可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) f(t) dt]/Δx将 f(x) 用泰勒公式展开得：f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + R(x,t)其中 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0。带入上式可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) [f(x)+f'(x)(t-x)+R(x,t)] dt]/Δx = lim_(Δx→0) [f(x)Δx + ∫x

答：2.()l lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1 F(x)=f(xt)dt,先讨论 F(x),F'(x)的连续性,再领航员2023/5/8 20:28:44推导出 lim_(x0)(f(x)+tanx)/x=1。首先考虑 F(x) 的连续性，根据定积分的定义可得：F(x+Δx) - F(x) = ∫x^(x+Δx) f(t) dt当 Δx 趋近于 0 时，上式右边的积分趋近于 0，因此 F(x) 在区间内是连续的。接着考虑 F'(x)，根据导数的定义可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) f(t) dt]/Δx将 f(x) 用泰勒公式展开得：f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + R(x,t)其中 R(x,t) 在 t → x 时趋近于 0。带入上式可得：F'(x) = lim_(Δx→0) [∫x^(x+Δx) [f(x)+f'(x)(t-x)+R(x,t)] dt]/Δx = lim_(Δx→0) [f(x)Δx + ∫x

答：由于 f(x) 是常数，可以提出来，而对于第二个积分，分子是一条斜率为 f'(x) 的直线，在区间 [0, Δx] 上的平均斜率为 f'(x)/2。因此，lim_(Δx→0) ∫0^(Δx) f'(x)t/Δx dt = lim_(Δx→0) [f'(x)/2 * Δx/Δx] = f'(x)/2代回原式，得到：F'(x) = f(x) + f'(x)/2 + ε因此 F'(x) 在区间内也是连续的。接下来推导题目所给的极限。根据题目中的条件可知：f(x) + tanx/x = x*f(x)/x + tanx/x → 1

答：当 x → 0 时，因此：f(x)/x → 1 - tanx/x由于 tanx/x 在 x → 0 时趋近于 1，因此可以将上式写作：f(x)/x = 1 + g(x)其中 g(x) 在 x → 0 时趋近于 0。带入题目所求的极限式子可得：lim_(x→0) [f(x) + tanx]/x = lim_(x→0) [(1+g(x))x + tanx]/x = lim_(x→0) (1+g(x)) + lim_(x→0) tanx/x = 1 + 1

答：= 2因此，得到 lim_(x→0) [f(x) + tanx]/x = 2，证毕。