Question

初中数学竞赛题，急！！！

已知三整数a、b、c之和为13，且b/a=c/b，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值。

Answer 1

设倍数为X
则C=X^2 *A
B=X*A

13=A+B+C=XA+X^2A+A
13=A(X+X^2+1)
A=13/(x+x^2+1)=13/[(x+1/2)^2+3/4]
A为整数
则可设f(x)=[(x+1/2)^2+3/4]>=3/4
而f(x)满足f(x)=13/n,n为整数.从这里知道n>=1
则必须满足13/n-3/4>=0
n<=17
所以1<=n<=17
13/17<=f(x)<=13
则1<=a<=17
a=1,此时x=3.那么b=3, c=9
当a=17此时f(x)=13/17=x^2+x+1
17x^2+17x+4=0,x有无理数解,不符合要求,
当a=16,16x^2+16x+3=0 (4x+1)(4x+3)=0
x=-1/4 x=-3/4
当x=-1/4,b=-4,c=1
当x=-3/4,b=-12,c=9
所以a的最小值是1,此时b=3, c=9
a的最大值是16,此时b=-4,c=1或b=-12,c=9

Answer 2

B=X*A

13=A+B+C=XA+X^2A+A
13=A(X+X^2+1)
A=13/(x+x^2+1)=13/[(x+1/2)^2+3/4]
A为整数
则可设f(x)=[(x+1/2)^2+3/4]>=3/4
而f(x)满足f(x)=13/n,n为整数.从这里知道n>=1
则必须满足13/n-3/4>=0
n<=17
所以1<=n<=17
13/17<=f(x)<=13
则1<=a<=17
a=1,此时x=3.那么b=3, c=9
当a=17此时f(x)=13/17=x^2+x+1
17x^2+17x+4=0,x有无理数解,不符合要求,
当a=16,16x^2+16x+3=0 (4x+1)(4x+3)=0
x=-1/4 x=-3/4
当x=-1/4,b=-4,c=1
当x=-3/4,b=-12,c=9
所以a的最小值是1,此时b=3, c=9
a的最大值是16,此时b=-4,c=1或b=-12,c=9

Answer 3

学过正弦定理吗？就是三角形里角的正弦比等于角对应边长比（以后用吧，很有用）另外：角的正弦等于其补角的正弦（糟糕！我的图PR与你的PR反了）
PN/NR=△PNM与△RMN的面积之比=PM乘以Sin角PMN/MR乘以Sin角NMR（面积公式：1/2边之积乘以夹角的正弦）
而PM=AMSinA
RM=MBSinB
因为角的正弦等于其补角的正弦
所以SinA=SinC=Sin角NMR（事实上角A=角NMR）SinB=Sin角PMN
将后面四式代入第一个式子就解出了
（呼呼！！数学符号好难打）

Answer 4

b*b=ac;a+b+c=13
a+b+b*b/a=13
a*a+ab+b*b=13a
再移相 合并同类项
得b关于a的函数式
再用极限
得min a=1 b=3 c=9
max a=9 b=3 c=1

Answer 5

a+b+c=13 b=13-a-c
ac=b^ ac=(13-a-c)^
a=13,c=0,b=0