Question

a1=根号2,an+1=根号(2+an),求证数列{an}收敛,并求其极限

Answer 1

问：a1=根号2,an+1=根号(2+an),求证数列{an}收敛,并求其极限

答：利用数学归纳法：a1=√2<2假设当n=k时，ak<2则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2因此，an<2再证an单调a(n+1)-an=√(2*an)-an=√an * (√2-√an)∵an<2∴a(n+1)-an>0即，an单调递增由单调有界定理，an收敛，设收敛到a，即有lim an=aa(n+1)=√(2*an)同取极限，lim a(n+1)=lim √(2*an)a=√(2*a)a=2∴lim an=2