Question

求曲面x^2+y^2=x,z^2=4x所围立体的表面积

Answer 1

问：求曲面x^2+y^2=x,z^2=4x所围立体的表面积

答：所围成立体体积=∫∫(x²+y²)dxdy (所围成立体体积在xoy平面上的投影：x²+y²≤4)=∫dθ∫r²*rdr (作极坐标变换)=2π*(2^4/4)=8π.

问：你好，这个是表面积

答：所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成.其中一个表面积S=∫∫ds (z=√(r²-x²),D：x²+y²=r²)∵αz/αx=-x/√(r²-x²),αz/αy=0∴ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=[r/√(r²-x²)]dxdy则 S=∫∫ds=∫∫[r/√(r²-x²)]dxdy→→ =4r∫dθ∫ρdρ/√(r²-ρ²cos²θ) (作极坐标变换)=-2r∫dθ∫d(r²-ρ²cos²θ)/[cos²θ√(r²-ρ²cos²θ)]=4r∫[(r-rsinθ)/cos²θ]dθ=4r²∫(sec²θ-sinθ/cos²θ)dθ=4r²(tanθ-secθ)│=4r²(0+1)=4r²故 所求表面积=4S=4(4r²)=16r².

问：好的，谢谢老师