求齐次线性方程组x1-x2+3x3_x4=02x1-x2-x3+x4=0x1-4x3+5x4=0的通解
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求齐次线性方程组
$\begin{cases}
x_{1} - x_{2} + 3x_{3} - x_{4} = 0 \\
2x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\
x_{1} - 4x_{3} + 5x_{4} = 0 \\
\end{cases}$
的通解。
方程组为
$\begin{cases}
x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0 \\
x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\
x_{1} - x_{2} - 2x_{3} + 2x_{4} = 0 \\
\end{cases}$
对系数矩阵A作初等行变换：
$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & -2 & 2 \\
\end{pmatrix}$
化为阶梯型：
$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
自由变量为$x_2$和$x_4$。
令$x_2=1$，$x_4=0$，得$x_1=1$，$x_3=0$，即$(1, 1, 0, 0)^T$。
令$x_2=0$，$x_4=1$，得$x_1=0$，$x_3=1$，即$(0, 0, 1, 1)^T$。
基础解系为$(1, 1, 0, 0)^T$，$(0, 0, 1, 1)^T$。
咨询记录 · 回答于2023-12-29
求齐次线性方程组x1-x2+3x3_x4=02x1-x2-x3+x4=0x1-4x3+5x4=0的通解
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求齐次线性方程组x1-x2+3x3_x4=02x1-x2-x3+x4=0x1-4x3+5x4=0的通解x1-x2+x3-x4=0,x1-x2-x3+x4=0,x1-x2-2x3+2x4=0对系数矩阵A作初等行变换1 -1 1 -11 -1 -1 11 -1 -2 2化为阶梯型1 -1 0 00 0 1 -10 0 0 0自由变量为x2，x4令x2=1，x4=0，得x1=1，x3=0 ，即（1，1，0，0）T令x2=0，x4=1，得x1=0，x3=1， 即（0，0，1，1）T基础解系为 （1，1，0，0）T，（0，0，1，1）T
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