Question

a乘b等于x1x2加y1y2怎么证明

Answer 1

问：a乘b等于x1x2加y1y2怎么证明

答：亲您好，这个等式可以通过向量的内积（点积）来证明。假设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)。它们的内积定义为：a · b = x1x2 + y1y2另一方面，向量a和向量b的叉积（叉乘）定义为：a × b = (0, 0, x1y2 - x2y1)由于向量a和向量b在三维空间中垂直于它们的叉积，所以它们的长度可以表示为：|a × b| = |a| |b| sinθ其中，|a|表示向量a的长度，|b|表示向量b的长度，θ表示a和b之间的夹角。

答：现在考虑向量a和向量b的长度和夹角的关系。首先，我们可以使用勾股定理计算向量a的长度：|a| = √(x1² + y1²)同样地，我们可以计算向量b的长度：|b| = √(x2² + y2²)向量a和向量b之间的夹角θ可以使用向量的内积和它们的长度来计算：cosθ = a · b / (|a| |b|)sinθ = √(1 - cos²θ)现在我们可以将a × b的长度用叉积和正弦表示：|a × b| = |a| |b| sinθ = |a| |b| √(1 - cos²θ)然后，我们可以用叉积的定义来计算a × b的长度：|a × b| = √((0)² + (0)² + (x1y2 - x2y1)²) = √(x1²y2² - 2x1x2y1y2 + x2²y1²)现在我们可以将|a × b|用x1、y1、x2和y2的值来表示：|a × b| = √(x1²y2² - 2x1x2y1y2 + x2²y1²) = √((x1y2)² - 2x1x2y1y2 + (x2y1)²)我们注意到，最后一个表达式可以写成以下形式：|a × b| = √(axb² - 2(axb) + axb²) = √(axb)² = |axb|这里，axb表示向量a和向量b的叉积的z分量。因此，我们得到以下等式：|a × b| = |axb| = |a| |b| sinθ将其代入原始等式a · b = x1x2 + y1y2中，我们得到：a · b = |a| |b| cosθ = x1x2 + y1y2因此，我们证明了axb = x1x2 + y1y2。

答：这个公式是向量点积的定义。向量点积是两个向量在空间中的乘积的数量积，其结果是一个标量。具体来说，向量a(x1, y1)和向量b(x2, y2)的点积可以表示为：a · b = x1x2 + y1y2其中，符号 "·" 表示向量点积。这个公式可以通过向量的长度和夹角来推导。如果我们将向量a和向量b的夹角表示为θ，那么它们的点积可以表示为：a · b = |a| × |b| × cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量a和向量b的长度。因此，我们可以将向量a和向量b的长度表示为：|a| = √(x1^2 + y1^2)|b| = √(x2^2 + y2^2)将这两个长度代入上式中，我们得到：a · b = √(x1^2 + y1^2) × √(x2^2 + y2^2) × cosθ化简后，我们得到：a · b = x1x2 + y1y2这就是向量点积的公式，也是题目中给出的公式。

问：所以为什么垂直呢？