Question

4设随机变量X的概率密度为fx(x ),则 Y=1-3X 的概率

Answer 1

问：4设随机变量X的概率密度为fx(x ),则 Y=1-3X 的概率

答：为了计算 Y=1-3X 的概率密度函数，我们可以使用变量转换法（也称为 Jacobian 变换），该方法使用下面的公式： fy(y) = fx(g^-1(y)) * |dg^-1(y)/dy| 其中，g^-1(y) 是反函数，|dg^-1(y)/dy| 是其导数的绝对值。 在这个问题中，我们可以使用 X=1/3 - Y/3 进行转换，得到： fx(x) = fx(1/3 - y/3) * |-1/3| = fx(1/3 - y/3) / 3 因此， fy(y) = fx(1/3 - y/3) / 3 现在我们需要找到 Y 的取值范围。由于 X 是连续的，所以 Y 也是连续的，并且可以取到任何实数值。因此， fy(y) = fx(1/3 - y/3) / 3, 对于 -∞ < y < ∞ 现在我们可以对 fx(x) 进行求解，然后将其带入上面的公式中： fy(y) = fx(1/3 - y/3) / 3 = ... = ... 由于我们没有 fx(x) 的具体值，因此我们无法计算 fy(y) 的解析表达式。但是，我们可以使用这个公式来计算任意 Y 的概率。 例如，要计算 Y ≤ 0 的概率，我们可以使用以下公式： P(Y ≤ 0) = ∫-∞^0 fy(y) dy 即， P(Y ≤ 0) = ∫-∞^0 fx(1/3 - y/3) / 3 dy 这可以通过将 1/3 - y/3 替换为 x 并使用变量转换来计算。类似地，我们可以计算任何 Y 的概率。