Question

线性方程组自由未知量怎么取

Answer 1

问：线性方程组自由未知量怎么取

答：**自由未知量的一般选取方法** * 将系数矩阵经初等行变换化成行简化梯矩阵 * 非零行的首非零元所在列对应的是约束未知量 * 其余未知量即为自由未知量 由上面的选取方法可知： * 约束未知量所在列即构成A的列向量组的一个极大无关组 * 自由未知量所在列可由此极大无关组唯一线性表示 这样就能保证：对于自由未知量任取一组数都能唯一解出约束未知量。 把方程组表示成向量形式就更清楚了：比如，α1,...,αr是α1,...,αn的一个极大无关组，则xr+1,...,xn是自由未知量。方程写成： x1α1+...+xrαr=-xr+1αr+1-...-xnαn 对xr+1,...,xn的任一组取值，线性组合-xr+1αr+1-...-xnαn可由α1,...,αr唯一线性表示，即可唯一确定约束未知量x1,...,xr。 **例：齐次线性方程组** x1-x2+x3-x4=0 x1-x2-x3+x4=0 x1-x2-2x3+2x4=0 分析：系数矩阵A= 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2 r2-r1, r3-r1得： 1 -1 1 -1 0 0 -2 2 0 0 -3 3

答：*(-1/2), r3+3r2, r1-r21 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 根据一般选取方法，x1, x3是约束未知量，x2, x4是自由未知量。 同解方程组为： x1 = x2 x3 = x4 对x2, x4任取一组数，可唯一解出x1, x3。 那么，能不能取x1, x4作为自由未知量呢？ 按上面提到的原则是可以的，因为第2, 3列也是一个极大无关组。