22.证明:不定方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+无整数解
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要证明不定方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+没有整数解，我们需要使用一些数论和代数的性质。首先，我们观察方程的系数，5、6和7，并注意到这些系数都是奇数。现在我们来看等式的右边，即常数项2011。奇数的平方与奇数自身都是奇数，而偶数的平方是偶数。那么+5x^2+6xy+7y^2的结果是一个奇数，因为三个奇数相加的结果一定是奇数。现在我们来考虑一下等式的左边。我们注意到，一个奇数平方数的取值只能是1 mod 8 或 5 mod 8（假设k是一个整数，那么2k+1就是一个奇数，(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1）。同样，两个奇数平方数的和也只能是2 mod 8 或 6 mod 8。回到原方程+5x^2+6xy+7y^2=2011。右边是奇数，而左边是两个奇数平方数的和。因此，方程没有整数解。这是因为两个奇数平方数的和无法等于奇数。因此，证明了方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+没有整数解。
咨询记录 · 回答于2023-07-27
22.证明:不定方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+无整数解
要证明不定方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+没有整数解，我们需要使用一些数论和代数的性质。首先，我们观察方程的系数，5、6和7，并注意到这些系数都是奇数。现在我们来看等式的右边，即常数项2011。奇数的平方与奇数自身都是奇数，而偶数的平方是偶数。那么+5x^2+6xy+7y^2的结果是一个奇数，因为三个奇数相加的结果一定是奇数。现在我们来考虑一下等式的左边。我们注意到，一个奇数平方数的取值只能是1 mod 8 或 5 mod 8（假设k是一个整数，那么2k+1就是一个奇数，(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1）。同样，两个奇数平方数的和也只能是2 mod 8 或 6 mod 8。回到原方程+5x^2+6xy+7y^2=2011。右边是奇数，而左边是两个奇数平方数的和。因此，方程没有整数解。这是因为两个奇数平方数的和无法等于奇数。因此，证明了方程+5x^2+6xy+7y^2=2011+没有整数解。
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