Question

求积分∫3x²+6xy²dx

Answer 1

问：求积分∫3x²+6xy²dx

答：根据积分的线性性质，我们可以将该式拆分成两个积分：∫3x²dx + ∫6xy²dx对于第一个积分，根据积分的基本公式可知：∫3x²dx = x³ + C1 （其中C1为常数）对于第二个积分，由于变量为x和y，则需要根据积分顺序进行变换。具体来说，先对y进行积分，再对x进行积分：∫6xy²dx = 2x∫3y²dy = 2x y³ + C2 （其中C2为常数）因此，原式的积分结果为：∫3x²+6xy²dx = x³ + 2x y³ + C （其中C=C1+C2为常数）

答：1. 关于变量积分顺序的变换在计算多重积分时，如果被积函数中有多个变量，则需要考虑变量积分顺序的变换。对于二重积分来说，一般有以下两种积分顺序：（1）先对x进行积分，再对y进行积分；（2）先对y进行积分，再对x进行积分。具体选择哪一种积分顺序，要根据被积函数的形式和积分区域的特点来判断。对于三重积分及以上的积分，变量积分顺序的选择就更加复杂，需要根据具体情况进行判断和变换。2. 积分的线性性质积分的线性性质是指，如果f(x)和g(x)都可积，则对于任意实数a和b，有：∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx这个性质可以方便地拆分积分式，并且在积分计算中经常被使用。