Question

N=100000×100002×100006×100008+n,成为完全平方数自然数N的最小值是多

Answer 1

问：N=100000×100002×100006×100008+n,成为完全平方数自然数N的最小值是多

答：根据题意，我们可以列出以下方程：100000×100002×100006×100008 + n = m^2其中，m为自然数。将100000×100002×100006×100008因式分解：100000×100002×100006×100008 = (10^5 - 2)×(10^5 + 2)×(10^3 - 2)×(10^3 + 2)×(10^1 - 2)×(10^1 + 2)×(10^0 - 2)×(10^0 + 2)= (10^5)^2 - 2^2 × (10^3)^2 + 2^3 × (10^1)^2 - 2^4= (10^5 - 2^2 × 10^3 + 2^2 × 10^1)^2 - 2^4 + 4×2^2 × 10^1= (99996)^2 + 64因此，原方程可以转化为：(99996)^2 + 64 + n = m^2移项得：m^2 - (99996)^2 = 64 + n根据差平方公式：(m + 99996)(m - 99996) = 64 + n由于n是自然数，因此64 + n必须是一个完全平方数。

答：考虑64 + n = 1时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^6，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^6。考虑64 + n = 4时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 3，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 3。考虑64 + n = 9时，(m + 99996)(m - 99996) = 3^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 3^2。考虑64 + n = 16时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 5，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 5。考虑64 + n = 25时，(m + 99996)(m - 99996) = 5^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 5^2。考虑64 + n = 36时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 3^2，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 3^2。考虑64 + n = 49时，(m + 99996)(m - 99996) = 7^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 7^2。考虑64 + n = 64时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^6，

答：考虑64 + n = 81时，(m + 99996)(m - 99996) = 3^4，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 3^4。考虑64 + n = 100时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 5^2，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 5^2。考虑64 + n = 121时，(m + 99996)(m - 99996) = 11^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 11^2。考虑64 + n = 144时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 3^2，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^4 × 3^2。考虑64 + n = 169时，(m + 99996)(m - 99996) = 13^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 13^2。

答：考虑64 + n = 196时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 7^2，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 7^2。考虑64 + n = 225时，(m + 99996)(m - 99996) = 15^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 15^2。考虑64 + n = 256时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^8，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^8。考虑64 + n = 289时，(m + 99996)(m - 99996) = 17^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 17^2。考虑64 + n = 324时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 3^4，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 3^4。

答：考虑64 + n = 361时，(m + 99996)(m - 99996) = 19^2，此时m为奇数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的偶数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 19^2。考虑64 + n = 400时，(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 5^2 × 2^2 × 5^2，此时m为偶数，因此(m + 99996)和(m - 99996)是两个相邻的奇数，它们的最大公因数为2，因此无法满足(m + 99996)(m - 99996) = 2^2 × 5^2 × 2^2 × 5^2。由此可知，最小的满足条件的n为441 - 64 = 377，此时(m + 99996)(m - 99996) = 21^2，因此m + 99996 = 21^2，即m = 2095。因此，最小的满足条件的N为：N = 100000×100002×100006×100008 + 377 = (99996)^2 + 441 = 9999600241因此，最小的满足条件的自然数N为9999600241。