Question

请将x²+1/(x+1)²(x+2)化为部分分式

Answer 1

问：请将x²+1/(x+1)²(x+2)化为部分分式

问：好的，谢谢

答：同学，x² + 1/(x+1)²(x+2) 的部分分式形式为 1/x + 1/x² + 2/(x+1) + 1/(x+1)²。计算步骤如下：首先将 x² 拆分为两个部分分式：a/x 和 b/x²。其中 a 和 b 是待定系数。接下来将 1/(x+1)²(x+2) 拆分为三个部分分式：c/(x+1)² + d/(x+1) + e/(x+2)。同样，c、d 和 e 是待定系数。将以上拆分得到的部分分式相加，我们有：x² + 1/(x+1)²(x+2) = a/x + b/x² + c/(x+1)² + d/(x+1) + e/(x+2)现在，我们需要找到 a、b、c、d 和 e 的具体值。将等式两边通分并合并同类项：x²(x+1)²(x+2) + 1 = a(x+1)²(x+2) + b(x+2) + c(x+2)x + d(x+1)(x+2) + e(x+1)²展开并整理等式：x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 = (a + c)x⁴ + (2a + 2c + d) x³ + (a + 2c + 2d + e) x² + (2a + d + 2e) x + (a + e)通过比较等式两边的系数，我们可以得到以下方程组：a + c = 12a + 2c + d = 4a + 2c + 2d + e = 62a + d + 2e = 4a + e = 1解这个方程组，我们可以得到 a = 1, c = 0, d = 2, e = 0。将这些值代入原始的部分分式表达式中，我们可以得到：x² + 1/(x+1)²(x+2) = 1/x + 1/x² + 2/(x+1) + 1/(x+1)²