Question

an为等差数列 sn/n也为等差数列是充要条件

Answer 1

等差数列（Arithmetic Sequence）是指具有相同公差的数列。假设其首项为a，公差为d，则最为常见的等差数列可以表示为a，a+d, a+2d, a+3d, ……, a+(n-1)d,其中n为数列的项数。sn表示前n项和，即s1=a, s2=a+(a+d)=2a+d, s3=s2+(a+2d)=3a+3d,......, sn=(n/2)[2a+(n-1)d]。在这个前提下，我们来讨论题目中的问题。
答案是成立的。也就是说，这个条件确确实实充分必要。具体地说，当等差数列an是等差数列时，sn/n也是等差数列;反之，当sn/n也是等差数列时，an也是等差数列。
首先，我们假设an是等差数列，则：
(1) 前n项和为sn=n/2(2a+(n-1)d)，则sn的前一项和为s(n-1)=(n-1)/2(2a+(n-2)d)，它们的差为：
sn-s(n-1)=n/2(2a+(n-1)d)-[(n-1)/2(2a+(n-2)d)]
= d/2 n
　　 所以，sn/n的公差为d/2。
(2) 接下来，考虑sn/n的任意两项之差:
s(i+1)/i-si/(i-1)=[(n-i)(a+id)/i]−[(i−1)(a+(i−1)d)/(i−1)]
　　　　　　　　=(2a+(n-2i+1)d)/(i(i-1))
显然，这个值是一个常数，即为d/2，这意味着sn/n也是等差数列。
因此，我们得出在等差数列中，sn/n也为等差数列的结论。
其次，如果sn/n为等差数列，我们可以推出an也是等差数列。假设r为sn/n的公差，即：
s(i+1)/i-si/(i-1)=r
则代入公式得到：
(2a+(n-2i+1)d)/(i-1)*i=2a+(n-1-i)r
移项得到:
(r-d)(n-1)=2(d-a)
众所周知，d=an-an-1，所以我们有：
an-2an-1+an-2an+...+a2-a1=(n-1)[2a+(n-2)d]/2
因此，题目中的条件确实是等价的。
综上所述，an为等差数列sn/n也为等差数列是充要条件。