Question

an是等差数列sn/n也是等差数列是充要条件

Answer 1

等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值相等。这个差值称为公差。给定一个等差数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，其公差为 $d$。那么该数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 可以表示为 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，特别的，对于首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列，其前 $n$ 项和 $S_n=n\frac{2a_1+(n-1)d}{2}$。
现在考虑数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是一个等差数列，且 $S_n/n$ 也是一个等差数列。一般地，我们可以将这两个条件表示为：
$$a_1, a_2, \cdots, a_n: a_{i+1}-a_i=d$$
$$\frac{S_1}{1}, \frac{S_2}{2}, \cdots, \frac{S_n}{n}: \frac{S_{i+1}}{i+1}-\frac{S_i}{i}=d$$
那么问题来了，这两个条件是等价的吗？也就是说，当数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是等差数列且 $\frac{S_n}{n}$ 是等差数列时，必然有 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \frac{S_n}{n}$ 都是等差数列吗？
我们来一一证明。
首先，当已知 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为等差数列时， $S_n/n$ 也是等差数列。根据等差数列的求和公式，有：
$$\frac{S_n}{n}=\frac{n\frac{2a_1+(n-1)d}{2}}{n}=\frac{a_1}{n}+\frac{d(n-1)/2}{n}$$
右边的一项是 $\frac{a_1}{n}$，是一个常数，对于 $i \in [1,n-1]$，有：
$$\begin{aligned}
\frac{S_{i+1}}{i+1}-\frac{S_i}{i}&=\frac{\frac{(i+1)2a_1+i(i+1-1)d}{2}}{i+1}-\frac{\frac{i2a_1+i(i-1)d}{2}}{i}\\
&=\frac{2a_1+id}{2}-\frac{2a_1+(i-1)d}{2}\\
&=\frac{d}{2}
\end{aligned}$$
说明 $\frac{S_n}{n}$ 是以 $\frac{d}{2}$ 为公差的等差数列。
接下来我们来证明另一部分，即如果 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \frac{S_n}{n}$ 都是等差数列，则 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是等差数列且 $\frac{S_n}{n}$ 是等差数列。
因为 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \frac{S_n}{n}$ 都是等差数列，说明存在常数 $d_1$ 和 $d_2$，使得：
$$\begin{aligned}
&a_{i+1}-a_i=d_1 \\
&\frac{S_{i+1}}{i+1}-\frac{S_i}{i}=d_2
\end{aligned}$$
对于 $i \in [1,n-1]$，我们有 $a_{i+1}=a_i+d_1$ 和 $\frac{S_{i+1}}{i+1}=\frac{S_i}{i}+d_2$，根据等差数列求和公式得：
$$S_{i+1}=\frac{i+1}{2}(2a_1+id_1)+(i+1)\frac{i}{2}d_2$$
将 $S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d_1)$ 带进去，得到：
$$S_n=n\frac{2a_1+(n-1)(d_1+d_2(n-1)/2)}{2}$$
我们发现，如果 $\frac{S_n}{n}$ 是以 $d$ 为公差的等差数列，那么 $d=d_1+d_2(n-1)/2$。如果 $d_1=d_2$，那么说明 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $\frac{S_n}{n}$ 都是以 $d_1$ 为公差的等差数列；否则，$d_1$ 和 $d_2$ 的差是 $n-1$ 的倍数，那么我们可以将 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $\frac{S_n}{n}$ 的公差分别表示为 $d_1'$ 和 $d_2'$，使得 $d_1+d_2(n-1)/2=d_1'+d_2'(n-1)/2$。由于 $d_1,d_2$ 和 $n-1$ 互质，那么存在整数 $x,y$ 使得 $xd_1'+yd_2'=d_1+d_2(n-1)/2$，因此我们可以构造一个等差数列 $b_i=a_i+ix+iy$，使得 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 和 $\frac{S_n}{n}$ 都是以 $d_1+d_2(n-1)/2$ 为公差的等差数列，那么 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 一定也是等差数列，说明 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是等差数列。
综上所述，当数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是等差数列且 $\frac{S_n}{n}$ 是等差数列时，必然有 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \frac{S_n}{n}$ 都是等差数列。