Question

已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R},若A∩B=空集，求实数m的取值范围。

已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R},若A∩B=空集，求实数m的取值范围。要过程

Answer 1

已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R},若A∩B≠空集，求实数m的取值范围。
解析：∵A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R}
⊿=16m^2-8m-24>=0==>m<=-1或m>=3/2 (1)
∵A∩B≠空集, B≠空集
∴A≠空集，即x²-4mx+2m+6=0有解，且少有一个负解
由韦达定理知x1x2=2m-6<0==>m<3；x1+x2=4m<0==>m<0
∴m<0 (2)
取(1),(2)的交
∴实数m的取值范围为m<=-1

为什么答案中说若A∩B＝空集，则方程x²-4mx+2m+6=0的两根x1、x2均为非负，则：x1＋x2=4m≥0，x1x2=2m＋6≥0。
∵若A∩B＝空集，则A为空集，即方程x²-4mx+2m+6=0无解
则-1<m<3/2
当A≠空集，即x²-4mx+2m+6=0有解
若两根x1、x2均为非负，则：x1＋x2=4m≥0==>m>=0，x1x2=2m＋6≥0==>m>=-3。
∴m>=0
与m>=3/2取交为m>=3/2
也就是说，此时A虽不为空，但A∩B却为空集，所以，这是不合题意的。
请采纳。

Answer 2

答：
集合A，x²-4mx+2m+6=0
集合B，x<0
因为：A∩B=空集

所以：A是空集或者A的解为非负数
1）
A是空集时，对应方程没有实数解
判别式=(-4m)²-4(2m+6)<0
2m²-m-3<0
(2m-3)(m+1)<0
解得：-1<m<3/2
2）
A中方程解为非负数时，根据判别式和韦达定理有：
m<=-1或m>=3/2
x1+x2=4m>=0，m>=0
x1*x2=2m+6>=0，m>=-3
所以：m>=3/2

综上所述，m>-1

Answer 3

A∩B＝空集，
则方程x²-4mx+2m+6=0的两根x1、x2均为非负，
则⊿=16m^2-8m-24>=0==>m≤-1或m≥3/2 (1)

且x1＋x2=4m≥0，
x1x2=2m＋6≥0

解得m≥3/2