Question

已知椭圆C：4x2+y2=1及直线l：y=x+m，m∈R

已知椭圆C：4x2+y2=1及直线l：y=x+m，m∈R。
（1）若直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹
（2）若直线l交椭圆C于P、Q两点，且OP⊥OQ，求直线l的方程

Answer 1

（1）联立椭圆和直线的方程，整理后得：
5x²+2mx+m²-1=0
设方程的两根为x1，x2
则x1+x2=-2m/5
因此y1+y2=（x1+m）+（x2+m）=x1+x2+2m=8m/5
弦的中点坐标就是（-m/5，4m/5）
令x=-m/5，y=4m/5，消去m，得到中点轨迹为：y=-4x

（2）还是用这个方程：5x²+2mx+m²-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则x1+x2=-2m/5，x1x2=（m²-1）/5
向量OP=（x1，y1），向量OQ=（x2，y2）
要使OP⊥OQ，就要使向量OP*向量OQ=0
即x1x2+y1y2=0
x1x2已知了
那么y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m²=（4m²-1）/5
则x1x2+y1y2=（-2m/5）+[（4m²-1）/5]=0
解这个方程，得m=（1±√5）/4
但m并非一定取两个值
因为联立直线与椭圆的方程，有没有根不知道。也就是不能确认直线和椭圆一定有交点。如果我想让它们一定有2个交点，那么必须要让联立后方程的根的△>0
才行。
因此5x²+2mx+m²-1=0的判别式大于0，解得m∈（-√5/2，√5/2）
因此经过检验，m取两个值都可以
所以直线l的方程有2个。
一个是y=x+（1+√5）/4
另一个是y=x+（1-√5）/4

Answer 2

第一小题，弦的中点必在椭圆内，所以-根号5/2＜m＜根号5/2。所以，弦有取值范围，-根号5/10＜x＜根号5/10。