Question

求微分方程y''+2y'-48y=e^x的通解.

Answer 1

一般来说,微分方程最简单的形式,就是方程两边只有一个变量的导数形式.那么把这个方程分解成两部分
(1).y''+2y'-48y=0(右边=0)
(2).y=a* e^x (右边是原方程的右边,如果是x^n的形式,那么就是y=a*x^(n+j),这里的j是y的导数的最高阶)
两个方程的解相加就可以了.
因为e^x的导数还是e^x,e^nx导数是n*e^nx,所以方程(1)的解可以写成e^nx的各种组合形式.特征方程的解就是对应的微分方程的e^nx系数中的n.
所以就像楼上的解法一样.
特征方程为：x^2+2x-48=0,两个根：6,-8
因此可设通解为：c1*e^(6x)+c2*e^(-8x)+a*e^x
代入得,a+2a-48a=1,a=-1/45
最后,通解为：c1*e^(6x)+c2*e^(-8x)-1/45*e^x
这样说比较清楚了.