Question

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an)，n∈N*.

令bn=1/a（n-1）*an，（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+...+bn，若Sn＜m-2000/2对一切n∈N*成立。求最小正整数m

Answer 1

由题
a(n+1)=f(1/an)=[(2/an)+3]/(3/an)=an+(2/3)
∴数列{an}是公差为2/3，首项为1的等差数列
即an=1+(n-1)*(2/3)=(1/3)(2n+1)
于是bn=9/[(2n+1)(2n-1)]
=4.5*[(2n+1)-(2n-1)]/[(2n+1)(2n-1)]
=4.5[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴Sn=4.5[1/1-1/3+1/3-1/5...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=4.5[1-1/(2n+1)]
=9n/(2n+1)
对于
Sn＜0.5m-1000恒成立
而Sn=9n/(2n+1)=9/[2+(1/n)]≤3成立
∴m＞2006
即最小的m是2007