利用拉格朗日定理 证明当x>0时 x+1分之一<ln(x+1)-lnx<x分之一
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在（0，＋∞）上任意取定一区间（x，x＋1）
构造函数f（x）＝lnx。显然f（x）在（x，x＋1）上必连续。由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x，x＋1），使得f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）（x＋1－1）＝f'（ξ）。又f'（x）＝1/x，所以f'（ξ）＝1/ξ。因此f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）就化为ln（x＋1）－f（x）＝1/ξ。①
因为ξ∈（x，x＋1），∴x＜ξ＜x＋1，∴1/(x＋1)＜1/ξ＜1/x。将①式带入得1/（x＋1）＜ln(x＋1)－lnx＜1/x。原式得证。
咨询记录 · 回答于2023-12-29
利用拉格朗日定理 证明当x>0时 x+1分之一
你好呀
可以将题目拍个照发给我吗？
在（0，＋∞）上任意取定一区间（x，x＋1）
构造函数f（x）＝lnx，显然f（x）在（x，x＋1）上必连续，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x，x＋1），使得f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）（x＋1－1）＝f'（ξ）
又f'（x）＝1/x，所以f'（ξ）＝1/ξ。
因此f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）就化为ln（x＋1）－f（x）＝1/ξ。①
因为ξ∈（x，x＋1），∴x＜ξ＜x＋1，∴1/(x＋1)＜1/ξ＜1/x。将①式带入得1/（x＋1）＜ln(x＋1)－lnx＜1/x。
原式得证。
这里怎么回事
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